$X=S^1\times D^2/S_1\times S_1$ es homotópicamente equivalente a $S^2\vee S^3$

Question

Estoy buscando una prueba de que $X=S^1\times D^2/S_1\times S_1$ es homotópicamente equivalente a $S^2\vee S^3$.

No puedo pensar en ninguna prueba rigurosa y ni siquiera estoy seguro si puedo ver por qué eso es cierto. ¿Puedes ayudarme? (Si ayuda, he demostrado que $S^n/S^k$ es homotópicamente equivalente a $S^n\vee S^{k+1}$).

Answer 1

Estás tomando un toro sólido e identificando su borde con un punto. Aquí está mi truco:

Este cociente no cambia si primero pegamos otros objetos "alrededor" de este toro sólido y luego los identificamos todos con un punto. En particular, puedo pegar otro toro sólido al borde del toro sólido original (¡lo que da una 3-esfera!) y luego identificar ese segundo toro sólido con un punto (lo que incluye el borde del toro original). Así que X es equivalente a $S^3/(S^1\times D^2)$. Dado que el toro sólido es simplemente una 1-esfera engrosada, obtenemos el equivalente homotópico $S^3/S^1$.