Demostrar algo similar a una variante de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es:

$$(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + \cdots + b_n^2)$$

Sin embargo, puede ser manipulada como:

$$\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}$$

Se me ha asignado demostrar la siguiente desigualdad:

$$\sqrt{(a_1 + b_1 + \cdots + z_1)^2 + (a_2 + b_2 + \cdots + z_2)^2 + \cdots + (a_n + b_n \cdots + z_n)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2} + \cdots + \sqrt{z_1^2 + z_2^2 + \cdots + z_n^2}$$

He demostrado tanto Cauchy-Schwarz como su manipulación, pero estoy perdido cuando se trata de la desigualdad justo arriba. Se aceptan pistas y/o soluciones.

Answer 1

Pista:

Sustituyendo $b_i$ por $-b_i$ se puede transformar

$$ \sqrt{(a_1-b_1)^2+\cdots+(a_n-b_n)^2}\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2} $$ en $$ \sqrt{(a_1+b_1)^2+\cdots+(a_n+b_n)^2}\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2} $$

Luego, \begin{align*} \sqrt{(a_1+b_1+c_1)^2+\cdots+(a_n+b_n+c_n)^2}&=\sqrt{(a_1+(b_1+c_1))^2+\cdots+(a_n+(b_n+c_n))^2}\\ &\leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{(b_1+c_1)^2+\cdots+(b_n+c_n)^2}. \end{align*} Aplicando el resultado nuevamente, al segundo radical, obtenemos \begin{align*} \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}&+\sqrt{(b_1+c_1)^2+\cdots+(b_n+c_n)^2}\\ &\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}+\sqrt{c_1^2+\cdots+c_n^2}. \end{align*} Ahora, usa la inducción para completar la prueba.

Answer 2

Sea $\vec{a}(a_1,a_2,...,a_n)$, $\vec{b}(b_1,b_2,...,b_n)$,...,$\vec{z}(z_1,z_2,...,z_n)$.

Por lo tanto, $|\vec{a}|+|\vec{b}|+...+|\vec{z}|\geq|\vec{a}+\vec{b}+...+\vec{z}|$ y hemos terminado

porque en nuestro caso tenemos $|\vec{a}|+|\vec{b}|\geq|\vec{a}+\vec{b}|$.

Answer 3

Una interpretación geométrica sería la siguiente:

Considere una caja de $m$ dimensiones y divídala en una rejilla de $n\times n\times\dots\times n$. Entonces, su longitud diagonal es, como máximo, la suma de las diagonales en una "cadena diagonal" de cajas de la rejilla.