En qué sentido es forzar "imposible" en $L$?

Question

Acabo de ver un interesante video de Hugh Woodin sobre el Ultimate $L$. En él, él menciona que una de las razones por las cuales $L$ es tan interesante es porque no solo resuelve muchas preguntas naturales de teoría de conjuntos, sino que también es "inmune" a la técnica de forcing de Cohen. ¿En qué sentido podemos precisar esto?

Entiendo la idea básica de que no podemos forzar la existencia de conjuntos constructibles adicionales que en realidad no son constructibles, pero me gustaría entender con precisión lo que esto significa:

• ¿Estamos diciendo que si tenemos $ZFC$ en la metateoría, y tenemos algún modelo de $ZFC + V=L$, cualquier extensión por forcing de éste ya no satisfará $V=L$, por lo que está implicada alguna propiedad de absolutismo?
• ¿O estamos diciendo algo más que involucra cómo funciona el forcing si la metateoría es $ZFC + V=L$?
• ¿O ambas cosas?
• ¿Y cuántos de estos resultados solo son verdaderos para modelos transitivos contables?

También, cualquier referencia útil para aprender sobre este tema sería muy apreciada.

Answer 1

Si comenzamos con un modelo de $V=L$, entonces ninguna extensión genérica (no trivial) satisfará $V=L$.

Por lo tanto, hasta cierto punto, si has adoptado este axioma como "verdadero", nada puede ser cambiado por forcing. Entonces, la función continua, los diamantes, los cuadrados, los árboles, etc. deben estar fijos ya.

Por lo tanto, los únicos cambios que podemos hacer implican añadir ordinales. Lo cual, si eres un platonista y consideras el universo como completo, sería imposible.

Woodin señala que $L$ realmente no acomoda axiomas de cardinales grandes por encima de $0^\#$, que es el objetivo del programa Ultimate-$L$: tener un axioma como $V=L$ que sea compatible con axiomas de cardinales muy grandes.