Las ecuaciones de Einstein-Klein-Gordon (EKG)

Question

Estoy un poco confundido acerca de algunos trabajos que he leído sobre las ecuaciones de Einstein-Klein-Gordon (EKG).

Por lo que entendí, se toma el tensor de energía-impulso del campo escalar:

$$T_{\mu\nu } = \partial_\mu \varphi _\nu \varphi \frac12 g_{\mu\nu}_\alpha\varphi_\alpha\varphi V( )$$

$$V() = \frac12 (m)^2 + \frac4^4$$

Donde $$ es la constante de acoplamiento usual de auto-interacción.

Luego este tensor de esfuerzo se introduce en la ecuación de Einstein y se resuelve usualmente con la métrica de Schwarzschild u otras métricas convenientes.

Ahora, por lo que sé sobre QFT, ¿no es $$ un operador que mapea el espacio de Hilbert $H$ de estados de partículas a $H$ mismo? ¿Eso no hace que los componentes del tensor de energía-impulso sean observables y por lo tanto también operadores? Si es así, ¿cómo se pueden igualar los componentes del tensor de Einstein (que son campos tensoriales puramente geométricos) a operadores?

Una vez leí que la gente (hasta la fecha) generalmente introduce < $T_{} $ > en la ecuación de Einstein, pero en los trabajos que leí, utilizaron directamente el operador en sí y no su valor esperado.

También me pregunté cómo la gente introduce el tensor de esfuerzo de Maxwell en las ecuaciones de Einstein de una manera similar. Entiendo que el campo electromagnético y el campo escalar son campos de valores reales, pero ¿no deberíamos usar los valores esperados en la ecuación de Einstein?

¿Qué estoy pasando por alto? Aquí hay un enlace a uno de esos trabajos: http://arxiv.org/abs/0805.3211

Answer 1

Este no es el enfoque que suelo tomar para formular este problema. Cuando pienso en la ecuación de Einstein Klein-Gordon, comienzo desde un principio de acción:

$$S = \int d^{4}x\sqrt{|g|}\left(\frac{1}{16\pi G}R -\left[\nabla_{a}\phi\nabla^{a}\phi + V(\phi)\right]\right)$$

Lo que luego dará lugar a las ecuaciones de movimiento:

$$R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} = 8\pi G\left(\nabla_{a}\phi\nabla_{b}\phi -\frac{1}{2}g_{ab}\left[\nabla_{c}\phi\nabla^{c}\phi + V(\phi)\right]\right)$$

y

$$\nabla^{c}\nabla_{c}\phi - V'(\phi) = 0$$

A partir de aquí, la pregunta es ¿qué vas a hacer con estas ecuaciones?

¿Estás examinando la relatividad general en el contexto de una fuente del Klein-Gordon clásica? Si es así, simplemente resuelves estas ecuaciones.

¿Estás intentando hacer gravedad semiclásica? Bueno, entonces, fijas tu métrica en una métrica de fondo fija, y analizas la EOM del Klein-Gordon utilizando el $\nabla$ adecuado para esta métrica de fondo, cuantificando el campo utilizando un esquema como el que encontrarás en el libro de Wald.

¿Estás buscando trabajar a través de la reacción posterior de efectos semiclásicos en la métrica de fondo? Bueno, entonces necesitas escribir $g_{ab} = g^{0}_{ab} + g^{1}_{ab}$ donde $g^{1}_{ab} \ll g^{0}_{ab}$, asumir que $\phi$ es de primer orden, y sustituir el valor esperado de tu $\phi$ resuelto en el lado derecho, y resolver para $g^{1}_{ab}$ en este límite.

¿O estás intentando hacer algo más? Si quieres tratar esto como un problema completamente cuántico, primero necesitarás cuantificar la gravedad.