Calculando la incertidumbre total del producto final

Question

He realizado una gran cantidad de cálculos para determinar el contenido de etanol en el vino. Estos incluyeron titulaciones usando buretas, medidas de masa usando balanzas analíticas y otros. Conozco las incertidumbres de los aparatos.

Se me ha dado la tarea de encontrar el contenido de etanol en el vino (hecho) pero también de calcular la incertidumbre total por propagación de errores. Según entiendo, la incertidumbre total está dada por

$$\delta F=\sqrt{\left(\delta q\right)^2+\left(\delta w\right)^2+...}$$

Pero - ¿esto incluye el error estándar? Es decir, para calcular la incertidumbre total del valor final, ¿necesitaré encontrar el error estándar para todos los conjuntos de titulaciones (por ejemplo, para la titulación 1, un conjunto de 3 valores, encontrar el error estándar teniendo en cuenta todos los resultados, incluso los no concordantes, y hacer esto para la titulación 2), y tratar esos valores como incertidumbres fraccionarias? ¿Debo sumar este valor a las incertidumbres fraccionarias de las mediciones de la bureta (es decir, su propia incertidumbre de medición, no los errores estándar de las lecturas) y a las incertidumbres de las otras herramientas?

Finalmente - ¿la operación que aplique a los valores que afectan las incertidumbres cambiará la ecuación para la incertidumbre total? ¿O debo simplemente usar la misma ecuación que se mencionó anteriormente?

Answer 1

Enfoque general

\begin{equation} \sigma_{F}^2 = \sum \left( \frac{\partial F}{\partial x_i} \right)^2 \mathrm{d}x_i^2 \end{equation}

Aquí negligimos todos los términos de correlación formados al cuadrar lo que esencialmente es la expansión de Taylor de primer orden con respecto a las variables sobre su incertidumbre. $x_i$ es una variable o parámetro que contiene incertidumbre y $F$ es la función que depende de las variables y parámetros $x_i$. $\mathrm{d}x_i$ es la incertidumbre en $x_i,$ es decir, si mides la masa de tu solución 10 veces y es de 1 kg ± 0.1 kg. Tu $\mathrm{d}x_i$ para la masa es de 0.1 kg. Si prefieres, puedes pensar en $\mathrm{d}x_i$ como $\Delta x_i$.

Para un cálculo dado $f$ tomas su derivada $F$ con respecto a cada variable/parámetro, por lo tanto, conoces su tasa de cambio, y $\mathrm{d}x$ es la incertidumbre conocida/medida de esa variable/parámetro, es decir, cuánto podría variar la función por un error dado en un parámetro específico.

Por lo tanto, en tu expresión original solo considerabas la incertidumbre en los parámetros, pero no cómo se propagaría su error en cada función/ecuación/cálculo en el que se utilicen. Si una función es lineal en un $x_i$ dado, entonces a lo sumo estaría fuera por la magnitud de las incertidumbres multiplicada por alguna constante en la ecuación. Sin embargo, puede ser que la función contenga $x_i^{10}$ en cuyo caso el error en $x_i$ estará elevado a la 10ª potencia ¡lo que podría ser enorme! Así que utiliza la ecuación anterior, con las derivadas apropiadas para "propagar" el error.

Algunas derivaciones de fondo

El cambio en una función debido a una variable/parámetro puede seguir de su diferenciación

\begin{equation} \mathrm{d}f = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \mathrm{d}y \end{equation}

Es posible que el error debido a la variable $x$ sea igual pero opuesto al de $y,$ y los errores se cancelen. Sin embargo, al cuadrarlo, que nos da

\begin{equation} \sigma_f^2 = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 \mathrm{d}x^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 \mathrm{d}y^2 + 2\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) \mathrm{d}xy, \end{equation}

de esta manera los errores no se cancelan. Además, casi siempre asumimos que el término de correlación $\mathrm{d}xy$ es negligible. Al omitir los términos de correlación, nos encontramos con la ecuación superior.

Más información se puede encontrar aquí: Wikipedia propagación del error. Además, no olvides donar a Wikipedia. :)