Encuentre el grupo de Galois $G= Gal(L/K)$ donde $L= \mathbb{R}(x,y)$ y $K=\mathbb{R}(x^2,y^2)$

Question

Encuentra el grupo de Galois $G= Gal(L/K)$ donde $L= \mathbb{R}(x,y)$ y $K=\mathbb{R}(x^2,y^2)$

Mi intento: El polinomio minimal $f(a)$ es $(a^2-x^2)(a^2-y^2)$

$f(a)=(a^2-x^2)(a^2-y^2) \in \mathbb{R}(x^2,y^2)(a)=K(a)$

El polinomio $f(a)$ tiene un grado de $4$

$|Gal(L/K)|=|Aut(L/K)|=4 \implies \mathbb{Z}_4$ o $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$

Creo que $Gal(L/K)=\mathbb{Z}_4$

Answer 1

Aquí es cómo abordaría esta pregunta.

Sea $L=\mathbb{R}(x,y)$, y sea $K=\mathbb{R}(x^2,y^2)$.

Es decir, $L$ es el campo de funciones racionales en $x,y$ y $K$ es el subcampo de aquellos elementos de $L$ que son funciones de $x^2,y^2$. Para evitar dudas: se pretende que $x,y$ sean algebraicamente independientes, en el sentido de que el único polinomio en $x,y$ que es cero es el polinomio cero.

Ahora consideremos el polinomio $f(X)\in K[X]$ dado por $f(X):=(X^2-x^2)(X^2-y^2)$. Es claro que $f$ se descompone completamente en factores lineales en $L[X]$, ya que $f(X)=(X-x)(X+x)(X-y)(X+y)$. Como $L=K[x,y]$ es claro que ninguna extensión más pequeña de $K$ descompone a $f$, y por lo tanto $L$ es el campo de descomposición de $f$ sobre $K$. Por lo tanto $L$ tiene un Grupo de Galois sobre $K$, llámelo $G$.

¿Qué tan grande es $|L:K|$?

Bueno, tenemos que $L=K(x)(y)$, y por lo tanto $|L:K|=|L:K(x)||K(x):K|$. Ahora $|L:K(x)|=|K(x)(y):K(x)|\leqslant |K(y):K|$. Así que tenemos que $|L:K|\leqslant|K(y):K||K(x):K|$. Ahora notemos que $x$ satisface $m_x(X)=X^2-x^2\in K[X]$; como ninguno de $(X\pm x)$ tiene coeficientes en $K$ vemos que $m_x$ es el polinomio mínimo de $x$ sobre $K$, y por lo tanto $|K(x):K|=2$.

Es decir, $|L:K|\leqslant 4$.

Ahora deseamos encontrar los $K$-automorfismos de $L$. Note que cada uno de estos está determinado por sus efectos en $x,y$; y dado que $x$ debe mapearse a una de las raíces de $m_x$ vemos que hay como máximo $4$ automorfismos, dados por $\sigma_0:(x,y)\mapsto (x,y)$, $\sigma_1:(x,y)\mapsto (-x,y)$, $\sigma_2:(x,y)\mapsto (x,-y)$, $\sigma_3:(x,y)\mapsto (-x,-y)$. Dado que $x,y$ son algebraicamente independientes, siempre obtenemos un homomorfismo cuando sustituimos cualquier $(\phi(x,y),\psi(x,y))$ por $(x,y)$; pero los que hemos especificado son claramente sobre, por lo que son automorfismos. Además, dado que hacen cosas distintas a $(x,y)$ son todos diferentes, por lo que el orden del grupo de Galois $G$ es al menos $4$.

Juntando todo esto tenemos que $|L:K|=|G|=4$. Además $G=\{\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}$, y como cada $\sigma$ cuadra con la identidad tenemos que $G\simeq C_2\times C_2$.