Expectativa de una Distribución de Poisson: E[X(X-1)(X-2)(X-3)]

Question

Dado $X \sim Poi(\lambda)$, ¿cuál es la expectativa de $\mathbb{E}[X(X-1)(X-2)(X-3)]$?

No estoy seguro de cómo abordar esto. Pensé en expandir el polinomio, pero eso llevó a resultados bastante feos. Me dijeron que hay una solución elegante, pero no puedo parecer determinar esto. ¿Cuál es la mejor manera de abordar esto? ¡Gracias!

Answer 1

Pista: $$e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}n\left(n-1\right)\cdots(n-k+1)\frac{\lambda^{n}}{n!}=e^{-\lambda}\lambda^{k}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{\lambda^{n-k}}{\left(n-k\right)!}=\cdots$$

Answer 2

$E[X(X-1)(X-2)(X-3)]=\sum_{k=4}^{\infty}k(k-1)(k-2)(k-3)\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=4}^{\infty}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{(k-4)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k+4}e^{-\lambda}}{k!}=\lambda^4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\lambda^4

Se observa que en la última expresión se ha utilizado de este teorema, que la suma de cualquier PMF sobre todo su dominio es igual a $1$.