¿Cómo se deriva la ecuación de la cuerda de un círculo dado su punto medio?

Question

Hay una ecuación que instantáneamente te da la cuerda que tiene como punto medio $(x_1,y_1)$ en un círculo discutido aquí: Para un círculo,

$$C(x,y)=x^2 +y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$$

La cuerda que tiene como punto medio $(a,b)$ se da como:

$$ax+by+g(x+a)+f(y+b) + c = C(a,b)$$

y encontré un resultado similar aquí. Sin embargo, ¿hay una forma elegante y general de probar esta ecuación para todas las cónicas?

Answer 1

Considera la ecuación de una cónica general $$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$$

Ahora considera un punto $(m,n)$ que se tomará como el punto medio de la cuerda de la cónica.

Ahora considera la ecuación $$\begin{aligned}amx+h(my+nx)+bny+g(x+m)+f(y+n)+c \\ =am^2+2hmn+bn^2+2gm+2fn+c\end{aligned}$$

Lo anterior es una línea recta que pasa por $(m,n)$ y por supuesto cortaría la cónica en un máximo de $2$ puntos. Ahora, si resolvemos esta ecuación con la cónica, y consideramos eso como un cuadrático en $x$, obtendremos la suma de las raíces como $2m$ y de igual manera si lo consideramos un cuadrático en $y$, la suma de las raíces sería $2n$.

Editar: Nota que si las raíces del cuadrático son reales y distintas, entonces existe una cuerda, si las raíces son iguales, entonces el punto $(m,n)$ se encuentra en la cónica y por lo tanto esa línea sería una tangente. Si las raíces son imaginarias, no existe ninguna cuerda.

Answer 2

En realidad, hay una manera muy fácil de hacer esto que me di cuenta cuando vi la pregunta nuevamente.

Tomo la ecuación del círculo como $C(x,y) = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy +c$

El centro del círculo es $(-g,-f)$, podemos escribir el vector normal al segmento de línea hecho por la cuerda como:

$$n = (x_m + g , y_m +f)$$

Ese es el vector que conecta el centro del círculo con el punto medio de la cuerda. También podemos escribir un vector a lo largo de la cuerda como:

$$r = (x-x_m,y-y_m)$$

¡Tenemos:

$$n \cdot r = 0 \iff (x-x_m) (x_m+g) + (y_m +f)(y-y_m) =0 \iff xx_m + xg -x_m^2 - x_m g + y_m y -y_m^2 +fy -fy_m=0$$

Reordenando términos en la doble implicación, tenemos:

$$xx_m + yy_m +gx + fy = x_m^2 + y_m^2 + fy_m + gx_m$$

Agregando $c$ en ambos lados, podemos escribir:

$$xx_m + y y_m + gx +fy + c = C(x_m,y_m)$$

Lo cual es lo que se requería.