Demostrar que si $\mathcal{O}$ es abierto, entonces el interior de $\bar{\mathcal{O}} - \mathcal{O}$ es vacío

Question

Estoy tratando de mostrar lo siguiente:

Sea $\mathcal{O}$ un subconjunto abierto de un espacio métrico $X$. Mostrar que $\text{int} \, (\bar{\mathcal{O}} - \mathcal{O}) = \emptyset$.

Aquí, para $E \subset X$, $\text{int} \, E$ denota el interior de un conjunto y $\bar{E}$ denota su cierre en $X$.

Mi intento:

Por absurdo, supongamos que $\bar{\mathcal{O}} - \mathcal{O}$ tiene interior no vacío, entonces hay $x \in \text{int} \, (\bar{\mathcal{O}} - \mathcal{O})$. Esto significa que hay $r > 0$ tal que $B(x, r) \subset \bar{\mathcal{O}} - \mathcal{O}$. Sin embargo, como $x$ es un punto de cierre de $\mathcal{O}$, para cada $t > 0$, $B(x, t) \cap \mathcal{O} \neq \emptyset$. Esto contradice con $B(x, r) \subset \bar{\mathcal{O}} - \mathcal{O}$. Por lo tanto, $\text{int} \, (\bar{\mathcal{O}} - \mathcal{O})$ es vacío. $\blacksquare$

El problema que tengo con mi intento es que no se usa la suposición de que $\mathcal{O}$ es abierto. El argumento parece funcionar para cualquier subconjunto de $X$, o en otras palabras, sugiere que si $E$ es cualquier subconjunto de $X$, entonces $\text{int} \, (\bar{E} - E) = \emptyset$. No creo que esto sea cierto, pero no he encontrado un contraejemplo para desacreditarlo.

Por favor ayuda con:

1. identificar cualquier error en mi intento;
2. responder a la pregunta "para $E \subset X$, ¿se cumple que $\text{int} \, (\bar{E} - E) = \emptyset$ para todo $E \subset X$?"

Se aprecia cualquier ayuda.

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Aquí están las definiciones que utilicé: Para $E \subset X$, $x \in X$ y $r > 0$,

• $B(x, r)$: bola abierta centrada en $x$ con radio $r$.
• $\text{int} \, E$: interior de $E$, los puntos en $E$ para los cuales hay una bola abierta centrada en $x$ cubierta por $E$, es decir, $$ \text{int} \, E = \{ x \in E : \exists r > 0 \, , B(x, r) \subset E \} \ . $$
• $\bar{E}$: clausura de $E$, los puntos en $X$ para los cuales cada conjunto abierto que contiene a $x$ también contiene un punto en $E$, es decir, $$ \bar{E} = \{ x \in X: \forall \text{ conjunto abierto } O \subset X \text{ tal que }x \in O \, , O \cap E \neq \emptyset\} \ . $$

Answer 1

La demostración es tan sólida que se puede generalizar fácilmente a un espacio topológico arbitrario como se muestra a continuación.

Definición

Sea $X$ un espacio topológico. Un conjunto $U$ es un entorno de cualquier $x\in X$ si existe un conjunto abierto $V$ tal que $$ x\in V\subseteq U $$

Definición

Sea $X$ un espacio topológico. El interior $\operatorname{int} A$ de cualquier subconjunto $A$ de $X$ es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en $A$.

Definición

Sea $X$ un espacio topológico. Un punto $x$ es un punto de acumulación de $A$ si cualquier entorno de $x$ contiene cualquier punto de $A$.

Definición

Sea $X$ un espacio topológico. La clausura $\operatorname{cl} A$ de un subconjunto $A$ de $X$ es el subconjunto de $X$ que contiene todos los puntos de $A$ y los puntos de acumulación de $A$.

Entonces, con respecto a estas definiciones, reemplazando $B(x,r)$ con un vecindario genérico de $x$ con los mismos argumentos que diste, es posible mostrar que si $A$ es cualquier subconjunto de $X$, entonces $$ \operatorname{int}\big(\operatorname{cl}A\setminus A\big)=\emptyset $$

Answer 2

Su demostración es de hecho correcta para general $O.$ ¡Excelente! Te proporcionaré una versión diferente, porque, ¿por qué no?

Sea $V$ el interior de $\bar{O} \setminus O$. Entonces $V$ es abierto y un subconjunto de $\bar{O}$ y dado que el interior de $\bar{O}$ es el mismo que el de $O,$ es decir, $\mathring{O},$ y el interior de un conjunto es el subconjunto abierto más grande, obtenemos $V\subseteq \mathring{O} \subseteq O.$

Por un lado, tenemos $V \subseteq \bar{O} \setminus O.$ Por otro lado, tenemos $V\subseteq O.$ Por lo tanto, $V = \emptyset.$

Answer 3

Sea $x$ un punto interior de $\mathcal{\overline{O} } -\mathcal{O } $, entonces debería haber un vecindario de $x$ en $\mathcal{\overline{O} } -\mathcal{O }$. Pero como $x$ es un punto límite de $\mathcal{O } $, dicho vecindario debe contener puntos de $\mathcal{O } $, lo cual es imposible.