Demostración de igualdad de rango de matriz

Question

En mis estudios del complemento de Schur dentro de la teoría de matrices me he encontrado con este problema que parece ser difícil:

Consideremos la matriz de bloques $A = \left( \begin{array}{ccc} B & C \\ D & E \end{array} \right)$ donde $E$ es una submatriz cuadrada principal invertible de $A$ y se nos pide demostrar la siguiente igualdad de rangos $\operatorname{rango}\left( \begin{array}{ccc} CE^{-1}D & C \\ D & E \end{array} \right) = \operatorname{rango}(E)$ usando el complemento de Schur

He pensado en utilizar la identidad $\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(E)+\operatorname{rango}(A/E)$ y luego utilizando la definición del complemento de Schur en este caso $A/E = B-CE^{-1}D$ pero no tengo idea de cómo demostrar la igualdad de rangos en este caso. Agradezco toda ayuda.

Answer 1

Esto sigue fácilmente de la siguiente identidad $$\begin{pmatrix} I & -CE^{-1} \\ 0 & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} CE^{-1}D & C \\ D & E \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & 0 \\ -E^{-1}D & I\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix}.$$

O en términos del complemento de Schur, si $E$ es invertible entonces $\texttt{rank}\begin{pmatrix} B & C \\ D & E \end{pmatrix} = \texttt{rank}(E) + \texttt{rank}(B - CE^{-1}D),$ poniendo $B=CE^{-1}D$ lleva al resultado.