$K[x_1, x_2,\dots ]$ es un UFD

Question

Me pregunto cómo concluir que $R=K[x_1, x_2,\dots ]$ es un UFD para $K$ un campo.

Si $f\in R$ entonces $f$ es un polinomio en sólo un número finito de variables, ¿cómo puedo demostrar que cualquier factorización de $f$ en $R$ sólo tienen factores en estas indeterminaciones, es decir, tiene lugar en la UFD $K[x_1, x_2,\dots , x_n]$ para algunos $n$ ?

Alguien argumentó que $f$ no puede tener una única factorización en $K[x_1, x_2,\dots, x_n]$ y otro en $K[x_1, x_2,\dots, x_n, \dots, x_m]$ No entiendo esto. ¿Todos los primos en $K[x_1, x_2,\dots, x_n]$ necesariamente se mantienen en primer lugar en $R=K[x_1, x_2,\dots ]$ ? ¿Cómo sabemos que los elementos irreducibles/primos en $K[x_1, x_2,\dots, x_n]$ se mantiene irreducible en $R=K[x_1, x_2,\dots ]$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $K[x_1,x_2,\dots]=\bigcup_{n\in \Bbb N}K[x_1,x_2,\dots,x_n]$ . Voy a denotar estos anillos en la unión por $R_n$ para ahorrar tiempo de escritura.

Para ver que un irreducible $p$ de $R_n$ es irreducible en $R_m$ para $m\geq n$ Supongamos que tenemos una ecuación $p=ab$ donde $a,b\in R_m$ . Al evaluar $x_1,\dots, x_n$ todas a 1, las variables en $p$ desaparecen, y se obtiene una ecuación $\lambda=\overline{ab}\in K[x_{n+1}\dots, x_m]$ donde $\lambda\in K$ . Esto es una contradicción a menos que $a$ y $b$ ya cayó en $R_n$ en primer lugar, para que no tuvieran variables por encima de $x_n$ . Pero usted ya sabe que en $R_n$ Uno de los $a$ o $b$ debe ser una unidad, por lo que $p$ es irreducible en $R_m$ también. Así que entre los anillos, los primos siguen siendo primos y los irreducibles siguen siendo irreducibles.

Esto permite concluir que un elemento tiene una factorización prima en primer lugar.

Entonces se puede argumentar que dos factorizaciones cualesquiera de un solo elemento en primos deben consistir en elementos en un común $K[x_1,\dots, x_m]$ , lo que obligará a que las factorizaciones sean equivalentes.

Answer 2

La idea clave es que cada extensión sucesiva del anillo polinómico $\,D\subset D[x]\,$ es la factorización inerte es decir, la extensión del anillo no introduce nuevas factorizaciones, es decir, si $\, 0\ne d\ \in D\,$ factores en $\,D[x]\,$ como $\,d = ab\,$ para $\, a,b\in D[x]\,$ entonces $\,a,b\in D.\,$ De esto se deduce fácilmente que las propiedades de factorización requeridas se extienden a la unión ascendente $\,K[x_1,x_2,\cdots\,],$ y las mismas ideas funcionan para extensiones inertes arbitrarias.

Nota: $\ $ Paul Cohn introdujo la idea de las extensiones inertes al estudiar los anillos de Bezout. Cohn demostró que todo dominio gcd puede estar incrustado inercialmente en un dominio Bezout, y que todo UFD puede estar incrustado inercialmente en un PID. Hay algunas variaciones de la noción de inercia que resultan útiles al estudiar la relación entre las factorizaciones en anillos de base y de extensión, por ejemplo, una forma más débil en la que $\, d = ab\,\Rightarrow\, au, b/u\in D,\,$ para alguna unidad $\,u\,$ en el anillo de extensión.