Rastrear sobre la base de configuración

Question

Tomemos un sistema cuántico de muchas partículas, cuyas fases en la base de configuración están etiquetadas por $\mathbf {\hat q}=(q_1,\cdots, q_N)$ y momentos $\mathbf {\hat p}=\left(-i\frac{\partial}{\partial \hat q_1},\cdots, -i\frac{\partial}{\partial \hat q_N}\right)$. Luego consideremos el operador $$\begin{equation*} f(\mathbf {\hat q}, \mathbf {\hat p})\equiv \hat q_1^{n_1}\cdots \hat q_N^{n_N}\left(-i\frac{\partial}{\partial \hat q_1}\right)^{m_1}\cdots \left(-i\frac{\partial}{\partial \hat q_N}\right)^{m_N} \end{equation*}$$ de potencias de configuraciones y posiciones, $n_i, m_i\in \mathbb N^0$.

¿Es correcto que el objeto $$\begin{equation*} \tilde{\mathrm{tr}}\left\{f(\mathbf {\hat q}, \mathbf {\hat p})\right\}\equiv\int_{\mathbb{R}^N} \mathrm d\mathbf {\hat q} \left\langle\mathbf q\middle|f\left(\mathbf {\hat q} ,-i\frac{\partial}{\partial {\mathbf {\hat q} }}\right) \middle|\mathbf q\right\rangle \end{equation*}$$ NO está definido (es decir, no es una traza bien planteada)?

En particular, para espacios de Hilbert de dimensión infinita $H$, un operador es de clase traza si está acotado. En mi caso, se supone que esto no es así, ya que $$\begin{equation} \sup_{|\mathbf q\rangle\in\mathcal D(H), ||\mathbf r||\neq 0}\frac{||f\left(\mathbf q,-i\frac{\partial}{\partial {\mathbf q}}\right) |\mathbf q\rangle ||}{|| |\mathbf q\rangle ||}=+\infty \end{equation}$$ donde $\mathcal D(H)$ es el dominio (no acotado) en el espacio de Hilbert de definición del operador; en particular, $\hat f$ es el producto de potencias de operadores no acotados.

En cambio, en caso de incluir un peso canónico y definir $$\begin{equation*} \mathrm{tr}\{e^{-\beta\hat H}f(\mathbf {\hat q} ,\mathbf {\hat p} )\}\equiv \int_{\mathbb{R}^N} \mathrm d\mathbf {\hat q} \left\langle{\mathbf{\hat q}} \middle|e^{-\beta\hat H}f\left(\mathbf {\hat q} ,-i\frac{\partial}{\partial {\mathbf {\hat q} }}\right) \middle|\mathbf {\hat q} \right\rangle \end{equation*}$$ ¿es la ecuación anterior una traza bien definida?

Answer 1

Voy a intentarlo. Dado que esta es una configuración de muchas partículas, tenemos que $[q_i, q_j] = 0$ y $[p_i, p_j]=0$ y $[q_i, p_j] = i \delta_{ij}$ donde los índices etiquetan las partículas. Por lo tanto, la integral se volverá separable. Es decir, tenemos que

$$\begin{align*} &\tilde{\mathrm{tr}}\left\{f(\mathbf {\hat q}, \mathbf {\hat p})\right\}\equiv\int_{\mathbb{R}^N} \mathrm d\mathbf {\hat q} \left\langle\mathbf q\middle|f\left(\mathbf {\hat q} ,-i\frac{\partial}{\partial {\mathbf {\hat q} }}\right) \middle|\mathbf q\right\rangle\\ &=\int dq_1\cdots\int d q_N \langle q_1|\langle q_2| \cdots\langle q_N| \left(\hat q_1^{n_1}\cdots \hat q_N^{n_N}\left(-i\frac{\partial}{\partial \hat q_1}\right)^{m_1}\cdots \left(-i\frac{\partial}{\partial \hat q_N}\right)^{m_N} | q_1 \rangle |q_2\rangle \cdots |q_N\rangle \right) \end{align*}$$

donde he hecho uso de la definición del producto directo en un espacio de Hilbert para $N$ partículas.

Dadas nuestras relaciones de conmutación, estas integrales son separables. Es decir,

$$\begin{align*} &\tilde{\mathrm{tr}}\left\{f(\mathbf {\hat q}, \mathbf {\hat p})\right\}=\prod_{i=1}^N \int dq_i \langle q_i| \hat{q}_i^{n_i}\hat{p}_i^{m_i}|q_i\rangle \end{align*}$$

Ahora podemos ocuparnos de esto. primero recordemos que $\langle q_i| \hat{q}_i = \langle q_i| q_i$ entonces

$$\begin{align*} &\tilde{\mathrm{tr}}\left\{f(\mathbf {\hat q}, \mathbf {\hat p})\right\}=\prod_{i=1}^N \int dq_i \int dp_i \langle q_i| q_i^{n_i}\hat{p}_i^{m_i}|q_i\rangle \end{align*}$$

Para ocuparnos del momento, insertamos la unidad resuelta en la base de momento de la partícula $i$ de modo que

$$\begin{align*} &\tilde{\mathrm{tr}}\left\{f(\mathbf {\hat q}, \mathbf {\hat p})\right\}=\prod_{i=1}^N \int dq_i \int dp_i \langle q_i| q_i^{n_i}\hat{p}_i^{m_i}|p_i \rangle \underbrace{\langle p_i|q_i\rangle}_{\frac{e^{-iq_ip_i}}{\sqrt{2\pi}}}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\prod_{i=1}^N \int dq_i \int dp_i q_i^{n_i} p_i^{m_i} \langle q_i|p_i \rangle e^{-ip_i q_i}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\prod_{i=1}^N \int dq_i \int dp_i q_i^{n_i} p_i^{m_i} e^{ip_i q_i} e^{-ip_i q_i}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}}\prod_{i=1}^N \left(\int_{\mathbb{R}} dq_i q_i^{n_i}\right)\left( \int_{\mathbb{R}} dp_i p_i^{m_i} \right) \end{align*}$$

entonces parece que a menos que impongamos un límite al momento y nos restrinjamos a una región finita del espacio, lo que tenemos es simplemente un gran producto de divergencias, y por lo tanto no es un mapa bien definido de $\mathcal{H}\to \mathbb{R}$.

En cuanto a tu pregunta sobre el factor de ponderación del hamiltoniano, creo que la respuesta debería depender de cuál sea el hamiltoniano real, pero si crees que eso es incorrecto, puedo reconsiderarlo e intentar abordarlo para $\hat{H}$ general.