Mapa de Poincare de este sistema

Question

Deja $$x'=1+y-x^2-y^2$$ $$y'=1-x-x^2-y^2$$

¿Cómo puedo usar el mapa de Poincaré para demostrar que esto no tiene una solución asintóticamente estable?

Lo que hice:
Transformé el sistema a coordenadas polares $$r'=(\cos\theta+\sin\theta)(1-r^2)$$ $$\theta'=(\cos\theta-\sin\theta)(1/r-r)-1$$ que tiene una solución periódica $(r,\theta)=(1,-t)$ ó $f(t)=(x,y)=(\cos(t),-\sin(t))$.
¿Cómo encuentro el mapa de Poincaré? ¿Y cómo muestro que $f(t)$ no es asintóticamente estable?

Edit:
La pregunta original presenta el sistema como arriba y pide una solución periódica explícita $f(t)$ (que estoy seguro que es la que encontré arriba).

Demuestra que $f(t)$ es estable (pero no asintóticamente estable). ¿Qué puedes decir acerca del mapa de Poincaré?

Answer 1

Haciendo la transformación

$$ x = u+v\\ y = u-v $$

el sistema dinámico se convierte en

$$ \cases{ u'=1-v-2(u^2+v^2)\\ v'=u } $$

ahora siguiendo con

$$ \frac{du}{dv} = \frac{1-v-2(u^2+v^2)}{u} $$

y al integrar obtenemos

$$ u(v) = \pm\frac{\sqrt{1-2v^2+\left(2u_0^2-1\right)e^{-4v}}}{\sqrt{2}} $$

Sigue un gráfico que muestra las trayectorias de nivel para algunos valores de $u(0) = u_0$. El sistema se comporta como un sistema conservativo con centros para $|u_0| < \sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\frac{1}{e^4}\right)}$

Adjunto un script de MATHEMATICA que construye el mapa de Poincaré para $u(t),v(t)$ para las condiciones iniciales $(u(0) = 0.7107, v(0)=0)$ en el plano $(v ,u)$

data = Block[{}, 
Reap[NDSolve[{Derivative[1][x][t] == 
    1 - 2 x[t]^2 - y[t] - 2 y[t]^2, Derivative[1][y][t] == x[t], 
   x[0] == 0.7107, y[0] == 0, 
   WhenEvent[Mod[t, 2 \[Pi]] == 0, Sow[{y[t], x[t]}]]}, {}, {t, 0, 100000}, MaxSteps -> \[Infinity]]]][[-1, 1]];
ListPlot(data, ImageSize -> Large, PlotRange -> {{-1.5, 1.5}, All}, PlotStyle -> PointSize[0.0025])