Estructuras simplécticas en $M \times S^{2n}$

Question

Para $n > 1$, la esfera de dimensión $2n$ $S^{2n}$ no admite estructuras simplécticas. Entonces, ¿qué pasa con el producto con una variedad? ¿Existen resultados sobre las estructuras simplécticas en $M \times S^{2n}$?

Answer 1

La respuesta de Tom Church es correcta para $M$ compacto. Aquí hay un contraejemplo para $M$ no compacto: El haz cotangente $T^* S$ tiene la estructura simpléctica tautológica: En un punto de $T^* S$ que yace sobre $x \in S$, el espacio tangente a $T^* S$ es naturalmente isomorfo a $T_x S \oplus (T_x S)^*$. Toma el emparejamiento natural entre el primer factor y el segundo factor y hazlo simétrico en términos skews para obtener una estructura simpléctica en $T^* S$.

Ahora, mira $T^* S \times \mathbb{R}^2$ con la estructura simpléctica estándar en $\mathbb{R}^2$. Así que esta es una variedad simpléctica.

Pero el haz cotangente a $S$ es trivialmente estable: $T^* S \times \mathbb{R} \cong S \times \mathbb{R}^{2n+1}$. Por lo tanto, $T^* S \times \mathbb{R}^2 \cong S \times \mathbb{R}^{2n+2}$ y hay una estructura simpléctica en $S \times \mathbb{R}^{2n+2}$.

Answer 2

Desde el teorema de Künneth se puede comprobar que no existe ninguna clase $\omega\in H^2(M^{2d}\times S^{2n};\mathbb{R})$ tal que $\omega^{d+n}\neq 0$. (¡Esto es algo excelente para que lo resuelvas por ti mismo!) Dado que una forma simpléctica es cerrada y no degenerada, esto demuestra que ninguna estructura simpléctica en $M\times S^{2n}$ puede existir para $n>1$ si $M$ es compacto.

(Gracias a Eric y David por señalar que estaba asumiendo que $M$ es compacto; esto es necesario para que la no degeneración implique que el producto superior de $\omega$ represente un múltiplo no nulo de la clase fundamental. En su respuesta, David Speyer ofrece un buen contraejemplo si $M$ no está requerido a ser compacto.)

Answer 3

Si $M$ es simpléctico, no compacto y conectado, entonces hay una estructura simpléctica en $M \times S^{2n}$, para cada $n$. La prueba se puede dar con el principio-$h$ para estructuras simplécticas. Dice lo siguiente: sea $M$ una variedad no compacta y conectada (''abierta'' en lo sucesivo), $a \in H^2 (M; \mathbb{R})$ y $J$ una estructura casi compleja en $M$. Luego, existe una estructura simpléctica $\omega$ en $M$, tal que la clase de cohomología de $\omega$ es $a$ y tal que existe una estructura casi compleja compatible $I$ con $I$ homotópica a $J$. Por lo tanto, cualquier variedad casi compleja abierta tiene una estructura simpléctica.

Ahora afirmo: $M$ abierto y casi complejo, entonces $M \times S^{2n}$ es casi complejo (y por supuesto, abierto).

Paso 1: $M$ tiene un campo vectorial sin ceros. Para ver esto, tome un campo vectorial $X$ con ceros aislados y sea $p$ un cero. Elija una ''ruta de escape'', es decir, una inserción $u:[0,\infty] \to M$ con $u$ adecuada y $u(1)=p$. Además, $u$ debería evitar los otros ceros. Elija un vecindario tubular de $u$. El resultado es que se extiende $u$ a una inserción adecuada $U=D^{n-1} \times [0,\infty) \to M$. Sea $\phi_t:U \to U$, $t \in [0,1]$ una isotopía de inserciones $\phi_1=id$ y $\phi_0([0,\infty)) \subset [0,1/2]$. Esta isotopía debería ser constante cerca de $t=0,1$ y cerca de $x=0$. Luego defina $\psi:U \to U$ por la fórmula $\psi(v,x):= (v, \phi_{|v|^2} (x))$. Esta es una inserción $U \to U$ cuya imagen no contiene $0$. Extienda a un auto-difeomorfismo $\psi$ de $M$. Entonces $\psi^* X$ es un campo vectorial sin el cero $p.

Esto descompone el haz tangente en $TM = \mathbb{R} \oplus V$.

EDICIÓN: También se puede encontrar un campo vectorial sin ceros usando la teoría de obstrucciones: si $M$ es abierto de dimensión $m$, entonces $M$ es homotópicamente equivalente a un complejo CW de dimensión $m-1$.

Paso 2: Usa el factor trivial para mostrar que $T (M \times S^{2n}) \cong TM \times \mathbb{R}^{2n}$. Por lo tanto, el haz tangente de $M \times S^{2n}$ tiene una estructura compleja y $M \times S^{2n}$ es una variedad casi compleja.