Equivalencia de definiciones de cardinales regulares

Question

He visto dos definiciones para cardinales regulares:

1. Un cardinal $\kappa>\omega$ es regular si y solo si $\mathrm{cof}(\kappa)=\kappa$; es decir, la cofinalidad de $\kappa$ es $\kappa$.
2. Para cada mapa $f:\kappa\to\kappa$, existe un ordinal $0<\alpha<\kappa$ que está cerrado bajo $f$; es decir, $\forall \beta<\alpha(f(\beta)<\alpha)$.

Intenté demostrar que eran equivalentes, pero no tuve suerte. Una búsqueda rápida en Google no arrojó ningún resultado.

Answer 1

Sí, son equivalentes. La primera propiedad es la definición estándar.

Si $\operatorname{cf}(\kappa)=\kappa>\omega$, y $f\colon\kappa\to\kappa$, elija cualquier $\alpha_0<\kappa$, y defina por recursión, $\alpha_{n+1}=\sup\{f(\alpha)\mid\alpha\leq\alpha_n\}$. Por regularidad, $\alpha_{n+1}<\kappa$, y así $\alpha=\sup\alpha_n<\kappa$ también.

En la otra dirección, si $\operatorname{cf}(\kappa)=\mu<\kappa$, considere una función $f\colon\mu\kappa$ que es cofinal y $f(0)=\mu$, y extiéndala estableciendo $f(\alpha)=0$ para todo $\alpha\geq\mu$. Es fácil ver que si $\alpha<\mu$, entonces $\alpha$ no está cerrado bajo $f$, ya que $f(0)>\alpha$; y por otro lado, si $\alpha\geq\mu$ entonces $\sup\{f(\beta)\mid\beta<\alpha\}=\kappa>\alpha$.