Demuestra que el pie de la perpendicular desde el foco hasta cualquier tangente de una parábola se encuentra en la tangente al vértice
He estado tratando de demostrar esto sustituyendo el recíproco negativo de la pendiente de la tangente en un punto $(x, y)$ en una línea que pasa por ese punto y el eje de simetría. Luego sustituyo el valor del foco en el resultado y resuelvo para $x$. Sin embargo, la pendiente es indefinida para cualquier línea paralela al eje de simetría.
Sea $F$ el foco de la parábola, $HG$ su directriz, con el vértice $V$ como punto medio de $FH$. De la definición de parábola se sigue que $PF=PG$, donde $P$ es cualquier punto en la parábola y $G$ su proyección en la directriz.
La tangente en $P$ es el bisector del ángulo de $\angle FPG$, por lo tanto es perpendicular a la base $GF$ del triángulo isósceles $PFG$, y la intersección con este punto es su punto medio $M$.
Pero la tangente en $V$ es paralela a la directriz y biseca $FH$, por lo tanto también biseca $FG$ en $M$, tal como se quería demostrar.
Sin pérdida de generalidad, consideramos solo el caso $x^2=4ay$. el foco es $(0,a)$ y la pendiente en cualquier punto $(c,\frac{c^2}{4a})$ es $\frac{c}{2a}$ y la ecuación de la tangente es $$y-\frac{c^2}{4a}=\frac{c}{2a}(x-c)$$ Ahora tienes que obtener la distancia $d$ y encontrar su mínimo. $$d=\frac{4a(a)-2c(0)-c^2+2c^2}{\sqrt{16a^2+4c^2}} \\=\frac{4a^2+c^2}{\sqrt{16a^2+4c^2}} \\=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2+c^2}$$ esta distancia tiene su mínimo variando los valores de $c$ en $c=0$ y así $d=a$ Espero que esto ayude
Si se usara una parábola estándar como $y^2=4ax$, la forma habitual de representar un punto en la parábola es a través de ecuaciones paramétricas $x=at^2$ y $y=2at$, por lo que el punto general es $(at^2, 2at)$.
La pendiente de la recta tangente a este punto es entonces $\frac{d(2at)} {dt}$ dividido por $\frac{d(at^2)} {dt}$ es decir $\frac{1}{t}$.
Así, la ecuación de la recta tangente es $y=\frac{x} {t} + constante$ o $constante = ty - x$. Sabemos que la recta tangente pasa por $(at^2,2at)$, por lo que sustituyendo estos valores para $x$ y $y$ obtenemos $constante= at^2$ y así la ecuación para nuestra tangente es $$yt - x = at^2$$
La perpendicular a través del foco debe tener una pendiente de $-t$ y sabemos que pasa por $(a,0)$. La ecuación de esta línea se puede expresar como $constante=y+tx$. Sustituyendo $(a,0)$ por $(x,y)$ en esta ecuación se obtiene $constante=at$. Por lo tanto, $$y+tx=at$$ es la ecuación de la perpendicular a la tangente a través del foco.
Multiplicar ambos lados de esta última ecuación por $t$ para eliminar términos en $y$ al restar la primera ecuación para obtener $t^2x+x=0$, lo cual solo puede ser verdadero si $x=0$. Para $y^2=4ax$, $x=0$ es la ecuación del vértice.
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