Dimensión del Movimiento Browniano

Question

En el libro de Falconer sobre Geometría Fractal, él demuestra que la dimensión de una trayectoria Browniana es $2$. Tengo todo entendido excepto esta parte.

Sea $X(t)$ una trayectoria Browniana en $\mathbb{R}^{n}$, para $n\geq2$. Entonces, con probabilidad $1$, $\dim_{H}(X(t))=\dim_{B}(X(t))=2$.

Prueba. Para cada $\lambda<\frac{1}{2}$ la trayectoria Browniana $X:[0,1]\to\mathbb{R}^{n}$ satisface $|X(t+h)-X(t)|\leq b|h|^{\lambda}$. Así que $$\dim_{H}(X([0,1]))\leq\frac{1}{\lambda}\dim_{H}([0,1])\leq\frac{1}{\lambda}.$$

Aquí él dice "con una desigualdad similar para la dimensión de la caja."

¿Podría alguien ayudarme a ver cuál es esa desigualdad por favor? Simplemente no puedo encontrar una.

Answer 1

Generalmente, cuando $f$ es una aplicación $\lambda$-Hölder, lo que significa que $|f(a)-f(b)|\le C|a-b|^\lambda$ para algún $\lambda\in (0,1]$, las diversas dimensiones fractales: Hausdorff, caja/Minkowski (superior e inferior), empaquetamiento (superior e inferior) cumplen $$ \dim f(E) \le \frac{1}{\lambda}\dim E $$ La prueba es la misma:

1. Cubre $E$ con conjuntos adecuados $E_k$ que casi alcanzan el límite requerido por $\dim E$
2. Observa que $\operatorname{diam} f(E_k) \le C(\operatorname{diam} E_k)^\lambda$
3. Llega a la conclusión sobre $\dim f(E)$ basándote en la cobertura $\{f(E_k)\}$.