Encontrar los valores propios de la matriz $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ sin el determinante

Question

Entonces estamos leyendo el Álgebra Lineal de Axler en clase y no nos han enseñado el determinante. Pero se nos pide encontrar los autovalores de

$$\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$$

¿Cómo puedo hacer esto? Intenté encontrar algo que satisficiera

$$\begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ b & a-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = 0$$ pero todo lo que obtengo es $$y= \cfrac{\lambda - a}{b} x = \cfrac{b}{\lambda - a}x$$

No estoy seguro de qué hacer con esto. Establecer $y$ en cualquiera de esas igualdades no da un producto de matriz de $0$. Obviamente veo que si establezco $y$ en la primera igualdad, entonces obtengo un producto de matriz cuya primera fila (pero no la segunda) es cero, y de manera similar si establezco $y$ en la segunda igualdad. ¿Pero qué significa esto?

Answer 1

Pista:

Estás muy cerca: simplificando por $x$,

$$\frac{\lambda -a}b=\frac b{\lambda -a}$$ puede resolverse para $\lambda$.

Answer 2

Solo adivina los eigenvectores $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$.

Answer 3

Si $A = \pmatrix{a & b \\ b & a}$ entonces notamos que $$(A-aI)^2 = \pmatrix{0 & b \\ b & 0}^2 = b^2I$$

así que el polinomio $$(x-a)^2-b^2 = (x-a+b)(x-a-b)$$

aniquila a $A$. De hecho, es el polinomio mínimo para $A$ por lo que los autovalores son $a-b$ y $a+b$.