Integrando sobre un círculo desplazado usando coordenadas polares

Question

Quiero calcular la integral $\iint_\Omega 3 \sqrt{x^2+y^2} dA$ donde $\Omega$ es la región encerrada por el círculo $x^2 + y^2 = 2x$, utilizando coordenadas polares. Sé que si permitimos que $r$ sea negativo, la ecuación $r = 2\cos\theta$, $0 \leq \theta \leq \pi$ representa el mismo círculo que arriba. Entonces mi pregunta es: ¿Cuáles deberían ser los límites de integración de mi integral? Obviamente $\theta$ debería ir de $0$ a $\pi$, pero ¿qué pasa con $r$? Mi idea es que $r$ vaya de $0$ a $2\cos\theta$, pero no estoy seguro de eso.

Answer 1

En coordenadas polares $\Omega$ se puede escribir como $r=2\cos\theta$, es decir, un círculo en el plano $xy$ con centro en $C(1,0)$ y radio $1$. Entonces, la región $\Omega$ en coordenadas polares está dada por $$\Omega'=\{(r,\theta): -\pi/2\leqslant \theta \leqslant \pi/2, 0\leqslant r\leqslant 2\cos\theta\}.$$ El Jacobiano del cambio de variables es $r$, entonces $$\iint_{\Omega}3\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, {\rm d}A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{2\cos\theta}3r^{2}\, {\rm d}r{\rm d}\theta=\frac{32}{3}.$$ Alternativamente, como señaló el usuario J.G, se puede escribir $$\Omega''=\{(r,\theta): 0\leqslant \theta\leqslant \pi, 0\leqslant r\leqslant 2|\cos\theta|\},$$ entonces $\iint_{\Omega}f(x,y)dA=\iint_{\Omega''}f(r,\theta)rdrd\theta=32/3$.