Mostrar que si $\gcd(m,n)=1$, entonces $\langle e^{2\pi i/n}\rangle = \langle e^{2\pi im/n}\rangle$

Question

Realmente no estoy seguro de cómo probar esto. Sé que $|\langle e^{2\pi i/n}\rangle| = | e^{2\pi i/n}|$ y que $|\langle e^{2\pi im/n}\rangle| = |e^{2\pi im/n}|$. Claramente $| e^{2\pi i/n}| = n$ y creo que dado que $\gcd(m,n)=1$, entonces $m/n$ no tienen factor común, por lo que el orden también será $n$ ya que $n$ será el entero más pequeño que cancela a $n$. Y dado que ambos son grupos cíclicos, tener el mismo orden significa que son el mismo grupo. ¿Estoy en el buen camino o estoy completamente equivocado?

Esta duplicada no responde mi pregunta, ¿puedo concluir que son el mismo grupo si tienen el mismo orden?

Answer 1

Estás en el camino correcto.

La pregunta es: ¿cuál es el orden de un elemento $g$ de un grupo $G$? Es el menor número natural $a$ que satisface $g^a=1_G$, donde $1_G$ es el elemento identidad de $G$.

A continuación, investiguemos $\langle e^{2\pi i/n} \rangle$.

¿Cuál es el elemento identidad de este grupo? Claramente es $1 = e^0 = e^{k2\pi i} = e^{kn2\pi i/n}=(e^{2\pi i/n})^{kn}$ para $k\in\mathbb{Z}$. Luego, para minimizar $kn$, elegimos $k=1$, y así el orden de $e^{2\pi i/n}$ es $n$ (parece que has llegado hasta aquí).

¿Qué pasa con $\langle e^{2\pi i m/n}\rangle $? Nuevamente, en el exponente de $e$, queremos un múltiplo entero de $2\pi i$.

Aquí podemos asumir un par de cosas. En primer lugar, si $n=1$, entonces $\langle e^{2\pi i/n} \rangle = \langle 1 \rangle = \langle e^{2\pi i m/n}\rangle$, y tu resultado sigue trivialmente. Así que asumamos $n>1$. Además, podemos asumir que $m, porque si $m=n$, entonces $\gcd(m,n)=n>1$ (una contradicción), y si $m>n$, tenemos que $m=qn+r$ para algún $q\in \mathbb{N}, 0 (algoritmo de la división), entonces $e^{2\pi i m/n} = e^{2\pi i (qn + r)/n} = e^{2q\pi i n/n + 2\pi i r/n} = e^{2q\pi i}e^{2\pi i r/n} = 1\cdot e^{2\pi i r/n} = e^{2\pi i r/n}$.

Ahora, vemos que $(e^{2\pi i m/n})^a = e^{2\pi i am/n}$, por lo que en particular, estamos buscando el menor número natural $a$ tal que $\frac{am}{n}$ sea un entero. En otras palabras, estamos buscando el menor $a$ tal que $am$ sea un múltiplo de $n$. Pero en este caso, $am$ es exactamente la definición de $\text{lcm}(m, n)$.

Usando la identidad $\text{lcm}(m,n)\cdot \gcd(m,n) = mn$, vemos que $\gcd(m,n)=1$ implica que $\text{lcm}(m,n) = mn$. Por lo tanto, $a=n$, y por lo tanto el orden de $e^{2\pi i m/n}$ (y por lo tanto el orden de $\langle e^{2\pi i m/n} \rangle$) es $n$.

Por último, vemos que $e^{2\pi i m/n} = (e^{2\pi i/n})^m \in \langle e^{2\pi i/n}\rangle$, entonces $\langle e^{2\pi i m/n}\rangle \subseteq \langle e^{2\pi i /n}\rangle$. Pero dado que ambos son finitos y tienen el mismo número de elementos, es cierto que $\langle e^{2\pi i /n}\rangle = \langle e^{2\pi i m/n}\rangle$.