Resolviendo un sistema cúbico de ecuaciones

Question

Tengo el siguiente sistema de ecuaciones:

$A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 xy + E_1 xz + F_1 yz + G_1 xyz = M_1$ $A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 xy + E_2 xz + F_2 yz + G_2 xyz = M_2$ $A_3 x + B_3 y + C_3 z + D_3 xy + E_3 xz + F_3 yz + G_3 xyz = M_3$

$A_1$, $B_1$, ..., $M_1$, $A_2$, $B_2$, ..., $M_2$, $A_3$, $B_3$, ..., $M_3$ son conocidos.

Intentar obtener $x$ basado en $y$ y $z$ a partir de la primera ecuación, luego sustituirlo en la segunda ecuación, luego obtener $y$ basado en $z$ y sustituirlo en la tercera ecuación parece una pesadilla. ¿Cómo resolver este sistema de ecuaciones?

Answer 1

Un sistema cúbico general de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene como máximo 27 soluciones. Esto se puede demostrar reduciéndolo a una ecuación polinómica de 27 grados en una variable y aplicando el teorema de Gauss. Encontrar el polinomio te da un control completo sobre el número de soluciones. Sin embargo, hay un problema con este esquema ya que el polinomio de tan alto grado puede ser numéricamente inestable. Otro método es el método de Newton-Raphson que te dará una solución numérica al problema.

Answer 2

Una posible solución alternativa puede ser la siguiente:

1. Multiplicamos la primera ecuación por $-G_2$, la segunda ecuación por $G_1$, y las sumamos.
2. Ahora multiplicamos la segunda ecuación por $-G_3$, la tercera por $G_2$, y las sumamos.
3. Finalmente multiplicamos la tercera ecuación por $-G_1$, y la primera por $G_3`, y las sumamos.

Teóricamente ahora tenemos tres nuevas ecuaciones, pero nos hemos deshecho de la parte $xyz$.

De la misma manera, vayamos deshaciéndonos de xy, xz, xz.

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones simple con 3 ecuaciones y 3 incógnitas:

$AA_1x + BB_1y + CC_1z = MM_1$

$AA_2x + BB_2y + CC_2z = MM_2$

$AA_3x + BB_3y + CC_3z = MM_3$

que es fácil de resolver.

Si piensas que esto no siempre funcionaría, por favor házmelo saber, ¡o si tienes una mejor solución, es bienvenida!

Answer 3

Tal vez un poco ambiguo, pero también puedes intentar configurar las ecuaciones para $M_1+M_2$, $M_1+M_3$, $M_2+M_3$ y $M_1+M_2+M_3$, lo cual es fácil, en total entonces tendrías 7 ecuaciones, con 7 incógnitas ($x, y, z, xy, xz, yz, xyz$). Pero no creo que esto esté permitido.