¿Son $su(2)$ y $sl(2, \Bbb R)$ isomorfos?

Question

En el libro de Lie Algebra de B.C.Hall, se afirma claramente que $su(2)$ no es isomorfo a $sl(2, \Bbb R)$, la demostración se deja como ejercicio.

Mi demostración propuesta utiliza el hecho de que una matriz hermitiana se puede diagonalizar a través de una matriz unitaria para demostrar que no hay un isomorfismo que preserve el corchete de Lie:

$X,Y,Z \in sl(2,\Bbb R)$

donde los corchetes usuales son:

$[X,Y] = Z\,,\,[X,Z] = -2X\,,\,[Y,Z] = 2Y$

El isomorfismo $\phi:sl(2,\Bbb R) \to su(2)$ debe preservar los corchetes, usemos el último

$\phi(2Y) = \phi([Y,Z]) = [\phi(Y),\phi(Z)]$

$A\equiv \phi(Y)\in su(2)\,,\,B\equiv\phi(Z)\in su(2)$

$[A,B] = 2A$

Dado que $A$ es hermitiana tenemos

$A = W^*\Lambda W\,,\,W^*W=I$, donde $\Lambda$ es una matriz diagonal

Sustituyendo en $[A,B] = 2A$ y haciendo cálculos sencillos se muestra que

$[\Lambda,H] = 2\Lambda$

donde $H\equiv WBW^* \in su(2)\,,\,\Lambda \in su(2)$

Así que tenemos que:

$\Lambda = \left[ \begin{array}{cc} s&0\\ 0&-s \end{array} \right]\,,\,H = \left[ \begin{array}{cc} r&\gamma^*\\ \gamma&-r \end{array} \right]\,,\,r,s\in\Bbb R$ y $\gamma \in \Bbb C$

y sustituyendo en $[\Lambda,H] = 2\Lambda$ es fácil ver que la ecuación de matrices se satisface solo si $s = 0$

lo cual implicaría $\phi(Y)=A=\Lambda = 0$ y luego $Y=0$ (porque $\phi$ es un isomorfismo), lo cual es absurdo, por lo que los corchetes no pueden ser preservados.

¿Es correcta esa demostración?

Estoy un poco confundido porque en el libro "Quantum field theory" de M.D.Schwartz en la página 162 afirma que $sl(2,\Bbb R) = su(2)$, lo cual me parece incorrecto, ya que esa ecuación tendría sentido solo si hay un isomorfismo de álgebra de Lie entre $sl(2,\Bbb R)$ y $su(2)$.

Answer 1

1. En primer lugar, al considerar álgebras de Lie reales, es más limpio usar la convención matemática, es decir, $su(2)$ consiste en matrices antihermíticas sin traza de $2 \times 2$.

2. OP ya ha demostrado que $sl(2,\mathbb{R})$ (que es el conjunto de matrices de $2 \times 2$ reales sin traza) contiene 2 operadores en escala $\sigma_{\pm}$, tales que $[\sigma_3,\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}.$

3. Una forma de demostrar que las álgebras de Lie reales $su(2)$ y $sl(2,\mathbb{R})$ no son isomorfas es mostrar que $su(2)$ no puede contener un operador de escalera. Esto no es difícil.

4. Ver también esta publicación relacionada de Phys.SE.

Answer 2

Hay un subgrupo bidimensional en SL(2,$\mathbb{R}$):
\begin{bmatrix} m & n \\ 0 & 1/m \end{bmatrix} puedes demostrar que SU(2) no puede tener un subgrupo bidimensional demostrando que SO(3) no puede tener un subgrupo bidimensional, no es difícil demostrarlo usando las relaciones de conmutación en SO(3): $$ [\vec{a}\cdot\vec{J},\vec{b}\cdot\vec{J}] = (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{J} $$ por lo tanto, dos rotaciones infinitesimales crearán una rotación perteneciente a otra dimensión:
$$ \mathrm{R}(\hat{a},\theta_1)\mathrm{R}(\hat{b},\theta_2)\mathrm{R}(\hat{a},\theta_1)^{-1}\mathrm{R}(\hat{b},\theta_2)^{-1}=\mathrm{R}(\hat{a}\times\hat{b},\theta_1\theta_2) $$