Demuestra que $\{1, (x-2), (x-2)^2, ... , (x-2)^n\}$ es una base de todas las funciones polinómicas de grado $n$ o menos de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$.

Question

Sea $V$ el espacio vectorial real de todas las funciones polinómicas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ de grado a lo sumo $n$. Es decir, el espacio de todas las funciones con forma $f(x)=c_0+c_1x+...+c_nx^n$ con $c_i\in\mathbb{R}$

Necesito probar que $\{1, (x-2), (x-2)^2, ... , (x-2)^n\}$ es una base de $V$. Para eso, primero necesito demostrar la independencia lineal, lo cual puedo hacer. Bueno, aquí es donde me atasco. ¿Cómo puedo demostrar que este conjunto abarca $V$? Mi primer pensamiento fue usar inducción, pero estoy teniendo dificultades para escribirlo de alguna manera. ¿Podría alguien por favor aconsejarme cómo hacer esto? Gracias de antemano.

Answer 1

Según entiendo, no estás buscando una solución final, sino solo direcciones para resolverlo. Entonces aquí hay algunas direcciones:

Sabes que $A_n=\{1, x, x^2, \ldots, x^n\}$ es una base de tu espacio vectorial $V$ si puedes demostrar

1. que los elementos de $B_n=\{1, (x-2), (x-2)^2, \ldots, (x-2)^n\}$ pueden ser expresados como combinación lineal de los elementos de $A_n$, y
2. que los elementos de $A_n$ pueden ser expresados como combinación lineal de los elementos de $B_n$,

ya terminaste.

El primer punto debería surgir del teorema binomial. Para la segunda dirección, la inducción podría ser útil: si asumes que esto es válido para $A_{n-1}$ y $B_{n-1}$ y utilizas $(x-2)^n=(x-2)(x-2)^{n-1}$ deberías ser capaz de encontrar una solución.

Alternativa

Al sustituir $x=y+2$, se obtiene $A_n=\{1, (y+2), (y+2)^2, \ldots, (y+2)^n\}$ y $B_n=\{1, y, y^2, \ldots, y^n\}$. Ahora también se puede demostrar el punto 2 con el teorema binomial.

Answer 2

Te sugiero que uses la fórmula de Taylor en el punto 2. La fórmula de orden n es exacta para polinomios de grado n o inferior y te dará la descomposición que estás buscando.