Problema de tasas relacionadas, no puedo encontrar θ

Question

Un oficial de policía se sienta al lado de la carretera. Un automóvil pasa a 20 pies de ella, viajando a una velocidad de 75 mph (110 pies/segundo). ¿Qué tan rápido está cambiando el ángulo $\theta$ en ese momento?

Hasta ahora, tengo la ecuación base para $\theta$ como $\tan\theta=D/20$, donde $D$ representa la distancia entre la línea de los 20 pies y el automóvil. Encontrando la derivada, y usando 110 como $\frac{dD}{dt}$ me da $$\frac{d\theta}{dt}=\frac{110}{20\sec^2\theta}$$ El único problema es que no puedo encontrar una manera de resolver para $\theta$.

Answer 1

Si la pregunta es solo qué tan rápido está cambiando theta, entonces no es necesario resolver para theta, necesitas resolver para $$\frac{d\theta}{dt}$$ lo cual parece que ya hiciste. Resolver para theta explícitamente aquí requeriría integración ("anti-diferenciación") lo cual quizás aún no hayas aprendido.

P.D. ¿Es ese el libro de James Stewart? Parece que recuerdo este problema de cuando tomé Cálculo I.

Answer 2

La pregunta está pidiendo $\frac{d\theta}{dt}$ cuando $\theta=0$, es decir, cuando el carro que pasa está justo frente al carro de la policía. Esto resulta en $$\frac{d\theta}{dt}=\frac{110}{20\sec^20}=\frac{110}{20\cdot1^2}=\frac{11}2$$ Ten en cuenta que esto está en radianes; convirtiendo a grados obtenemos un valor de $\frac{11}2\cdot\frac{180}\pi=315.1$ grados por segundo.

Answer 3

La respuesta depende de lo que signifiquen las palabras "en ese momento".

Como encontraste, la tasa a la que el ángulo $\theta$ está cambiando es una función del valor del ángulo $\theta$ en el instante en el que mides la tasa de cambio.

"Un carro pasa a $20$ pies de ella ... ¿Qué tan rápido está cambiando el ángulo $\theta$ en ese momento?" Interpreto esto como que "ese momento" es el instante en el que el carro cruza la línea punteada en la figura, ya que es cuando el carro "pasa" frente al oficial y también cuando está a $20$ pies de distancia.

Dado que el carro en ese momento está exactamente en la misma dirección que la línea punteada, el ángulo $\theta$ es cero.