Al saber que $a_{n+1}=(n+3)a_n$, ¿cómo puedo encontrar $a_n$?

Question

$$a_1=1$$ $$a_{n+1}=(n+3)a_n$$

¿Cómo puedo llegar a la respuesta de esto, que es:

$$a_n=\frac{(n+2)!}{6}$$

Answer 1

$$a_{n+1}=(n+3)a_n=(n+3)(n+2)a_{n-1}=(n+3)(n+2)(n+1)a_{n-2}=...$$

¿Puedes encontrar el patrón ahora?

Answer 2

Escríbelo de la siguiente manera $$\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =n+3\\ \frac { { a }_{ 2 } }{ { a }_{ 1 } } =4,\frac { { a }_{ 3 } }{ { { a } }_{ 2 } } =5,\frac { { a }_{ 4 } }{ { a }_{ 3 } } =6,...\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n-1 } } =n+2\\ \\ \frac { { a }_{ 2 } }{ { a }_{ 1 } } \cdot \frac { { a }_{ 3 } }{ { { a } }_{ 2 } } \cdot \frac { { a }_{ 4 } }{ { a }_{ 3 } } \cdot ...\cdot \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n-1 } } =\frac { \left( n+2 \right) ! }{ 6 } $$

Answer 3

Al tomar logaritmos tenemos,

$$\ln a_{n+1}=\ln a_n+\ln (n+3)$$

Un poco de álgebra e introducción de una variable ficticia.

$$\ln a_{i+1}-\ln a_{i}=\ln (i+3)$$

Sumando ambos lados desde $i=1$ hasta $n-1$ y notando que la suma es una suma telescópica,

$$\ln a_{n}-\ln 1=\sum_{i=1}^{n-1} \ln (i+3)$$

Reglas logarítmicas,

$$\ln a_{n}=\ln \prod_{i=1}^{n-1} (i+3)$$

$$a_n=\prod_{i=1}^{n-1} (i+3)$$

Nota que el $(1)(2)(3)$ que nos gustaría está faltando.

$$3! a_n=(1)(2)(3)\prod_{i=1}^{n-1} (i+3)$$

Notando la definición de factorial.

$$3! a_n=(n+2)!$$

Resolviendo y simplificando,

$$a_n=\frac{(n+2)!}{6}$$

Answer 4

Sea ${\{a_n\}}_{n = 1}^{\infty}$ la secuencia numérica $$ a_1 = 1 \qquad \mbox{ y } \qquad a_{n + 1} = (n + 3) a_n \quad \mbox{ para todo } \quad n = 1 , 2 , \ldots $$ y sea ${\{b_n\}}_{n = 1}^{\infty}$ la secuencia numérica $$ b_n = \frac{(n + 2) !}{6} \quad \mbox{ para todo } \quad n = 1 , 2 , \ldots\mbox{,} $$ entonces mostraremos que $a_n = b_n$ para todo $n = 1 , 2 , \ldots$ y lo haremos usando el método de inducción. Por un lado, $$ a_1 = 1 = \frac{6}{6} = \frac{(1 + 2) !}{6} = b_1\mbox{.} $$ Por otro lado, sea $n$ un número natural, con $n > 1$, supongamos que $a_n = b_n$ y demostraremos la igualdad $a_{n + 1} = b_{n + 1}$. No es difícil: $$ a_{n + 1} = (n + 3) a_n = (n + 3) b_n = (n + 3) \frac{(n + 2) !}{6} = \frac{(n + 3) !}{6} = \frac{((n + 1) + 2) !}{6} = b_{n + 1}\mbox{.} $$