Continuidad uniforme en subintervalos.

Question

Si $f$ es uniformemente continua en $(a, b]$ y $[b, c)$, demuestra que también lo es en $(a, c)$.

Suponiendo lo contrario, que $f$ no es uniformemente continua en $(a, c)$, entonces existe una secuencia $x_k, y_k$ y un $\epsilon_0$ tal que $$|x_n-y_n|\rightarrow0 \quad \text{y} \quad|f(x_n)-f(y_n)|\ge\epsilon_0$$ Considera la subsecuencia $x_{n_k}, y_{n_k} \in(a, b]$, entonces $|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\rightarrow 0$ ya que es uniformemente continua en este intervalo. Esto contradice $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\epsilon_0$.

Por lo tanto, es uniformemente continua.

¿Está correcta esta demostración?

Answer 1

Creo que tu prueba no está completa. ¿Qué sucede cuando la secuencia $(x_n)_n$ está contenida en $(a,b]$ y la secuencia $(y_n)_n$ está contenida en $[b,c)$?

Entonces, $x_n\to b^-$ y $y_n\to b^+$ y, por la continuidad de $f$ en $b$, se sigue que $|f(x_n)−f(y_n)|\to 0$.

P.D. Nota que esta es también la razón por la cual la continuidad uniforme de $f$ en $(a, b]$ y en $(b, c)$ no implica la continuidad uniforme en $(a, c)$