Estoy preguntándome sobre la validez y el procedimiento para condensar/agrupar varios estados en uno en una cadena de Markov, es decir, si es posible, ¿cómo transformar el vector de estado y la matriz de transición? Muchas gracias.
Respuestas
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Para generalizar ligeramente el resultado mencionado por mjqxxxx, supongamos que se agrupan los estados originales $S_i$ en clases $C_a$. Por lo tanto, la colección de clases $(C_a)$ es una partición del espacio de estados y cada clase puede reducirse a un estado, o no. Entonces, una condición suficiente para que el proceso resultante siga siendo Markoviano es que la función $\varphi$ definida, para cada estado $S$ y clase $C$, por la fórmula $$ \varphi(S,C)=\sum_{T\in C}P(S\to T) $$ dependa del estado $S$ solo a través de su clase. En otras palabras, se pide que, para todas las clases $C$ y $D$ y todos los estados $S$ y $S'$ en $C$, $$ \varphi(S,D)=\varphi(S',D). $$ Señalar que la condición siempre es cierta si cada clase se reduce a un solo estado, y también es cierta si solo hay una clase.
Advertencia: si esta condición no se cumple, sin embargo, puede suceder que el proceso resultante sea Markoviano para algunas, pero no todas, las condiciones iniciales.
mjqxxxx
Puntos
22955
Si todas las probabilidades de transición fuera de un conjunto de estados ${\cal S} = \{S_1, S_2, ... S_n\}$ son iguales (es decir, $P(S_i\rightarrow T)=P(S_j\rightarrow T)$ para todo $i$ y $j$ y para todos los estados $T \notin {\cal S}$), entonces esos estados pueden ser consolidados en un nuevo estado único $S^{\prime}$ sin afectar la dinámica. El vector de estado ya no registrará las probabilidades individuales de los estados en ${\cal S}$, pero en cualquier momento $P(S^{\prime})$ será igual a $\sum_i P(S_i)$ en el modelo original. Las probabilidades de transición hacia el nuevo estado deben ser $P(T \rightarrow S^{\prime}) = \sum_i P(T \rightarrow S_i)$ para $T \notin {\cal S}$; las probabilidades de transición fuera del nuevo estado deberían ser $P(S^{\prime} \rightarrow T) = P(S_i \rightarrow T)$ para $T \notin {\cal S}$ (esto es independiente de la elección de $S_i$); y la probabilidad de permanecer en el nuevo estado debería ser $P(S^{\prime} \rightarrow S^{\prime}) = \sum_j P(S_i \rightarrow S_j)$ (nuevamente independiente de la elección de $S_i$).
