Formulación variacional de una Ecuación Diferencial Parcial Elíptica y demostrar que el problema resultante está bien planteado

Question

Determine la formulación variacional de \begin{cases} -\Delta u(\mathbf{x})=1, & \mathbf{x}\in (0,1)\times (0,1) \\ -\partial_{x}u(\mathbf{x})+c(\mathbf{x})u(\mathbf{x})=0, & \mathbf{x}\in \{0\}\times (0,1)\\ \partial_{y}u(\mathbf{x})=0, & \mathbf{x} \in (0,1)\times \{0\}\cup (0,1)\times \{1\}\\ \partial_{x}u(\mathbf{x})=0, & \mathbf{x} \in\{1\}\times (0,1) \end{cases}

Mi enfoque: Dejando $v\in H^{1}(\Omega)$ y asumiendo que $u\in H^{2}(\Omega)$, tenemos que \begin{eqnarray*} -\Delta u(\mathbf{x})&=&1\\ -\Delta u(\mathbf{x})v(\mathbf{x})&=& v(\mathbf{x})\\ \int_{\Omega}-\Delta u(\mathbf{x})v(\mathbf{x})d\mathbf{x}&=& \int_{\Omega}v(\mathbf{x})d\mathbf{x} \end{eqnarray*} Utilizando la fórmula de Green, obtenemos que \begin{eqnarray*} \int_{\Omega}-\Delta u(\mathbf{x})v(\mathbf{x})d\mathbf{x}&=& \int_{\Omega}v(\mathbf{x})d\mathbf{x}\\ \int_{\Omega}\mathbf{\nabla u(x)}\cdot \mathbf{\nabla v(x)}d\mathbf{x}-\int_{\partial\Omega}\gamma_{1}u(\mathbf{x})\gamma_{0}v(\mathbf{x})ds_{\mathbf{x}}&=&\int_{\Omega}v(\mathbf{x})d\mathbf{x} \end{eqnarray*}

Gracias @VoB, usando tu respuesta pude avanzar desde donde estaba atascado: La cantidad $\displaystyle \int_{\partial\Omega}\gamma_{1}u(\mathbf{x})\gamma_{0}v(\mathbf{x})ds_{\mathbf{x}}$ es igual a $\displaystyle \int_{\partial \Omega} v (\mathbf{\nabla u(\mathbf{x}) \cdot n})ds_\mathbf{x}$, podríamos encontrar la última cantidad en términos de la (BC), por lo que la formulación variacional se da por $$ \quad u\in H^{1}(\Omega): \quad a(u,v)=\ell(v), \quad \forall v\in V$$ donde $$a(u,v):=\int_{\Omega} \mathbf{\nabla u(x)}\cdot \mathbf{\nabla v(x)}d\mathbf{x}-\int_{\partial \Omega} v (\mathbf{\nabla u(\mathbf{x}) \cdot n})ds_\mathbf{x}$$ y $$\ell(v):=\int_{\Omega} v(\mathbf{x})d\mathbf{x}$$

---

Fórmula de Green: Sea $\Omega$ un conjunto abierto acotado en $\mathbb{R}^{n}$ con borde continuo-Lipschitz $\partial \Omega$. Entonces, para $\forall v\in H^{1}(\Omega)$ y $u\in H^{2}(\Omega)$ tenemos $$\int_{\Omega} v \Delta u=-\int_{\Omega}\mathbf{\nabla u\cdot \nabla v}+\int_{\partial \Omega}\gamma_{0}(v)\gamma_{0}(\mathbf{\nabla u)\cdot \nu}$$, donde $\gamma_{0}(\mathbf{\nabla u})$ es el vector que resulta de aplicar $\gamma_{0}$ a las componentes de $\mathbf{\nabla u}$.

Answer 1

Después de tomar $v \in H^1(\Omega)$:

$$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v dx- \int_{\partial \Omega} v (\nabla u \cdot n)ds_x = \int_{\Omega} vdx$$

Ahora, utilizando la aditividad de la integral en $\partial \Omega$ y las condiciones de contorno en el cuadrado unitario:

$$\int_{\partial \Omega} v (\nabla u \cdot n)ds_x = \int_{(0,1) \times \{0\} \cup (0,1) \times \{1\}} v \partial_x u \cdot n ds_x + \int_{\{1\} \times(0,1)}v \partial_y u \cdot n_2 ds_x + \int_{\{0\} \times (0,1)} v (c(x) u(x) + \partial_y u \cdot n_2 )ds_x$$