Única evolución para curvas de plano parametrizadas por arco.

Question

Sea $a(s)$ una curva plana parametrizada por arco. El objetivo de este problema es demostrar que la evoluta única para $a(s)$ que está en el mismo plano que $a(s)$ está dada por:

$b(s)= a(s) + \frac{N}{\kappa}$

donde $N$ es el vector normal unitario para $a(s)$ y $\kappa$ es la curvatura.

Dado que $b(s)$ es la evoluta de $a(s)$, $a(s)$ es la involuta de $b(s)$. Mostré anteriormente que esto significa que $a(s)$ tiene la forma:

$a(s)= \frac{b'(s)}{|b'(s)|}(c-s)+b(s)$

También:

$a'(s) \cdot b'(s)=0$.

donde $b'(s)$ está dado por:

$b'(s)=a'(s) + \frac{N'}{\kappa}-\frac{N\kappa'}{\kappa^2}$,

De cualquier manera, apreciaría algo de claridad sobre esto. ¿Cómo muestro la unicidad?

Entonces:

$a'(s) \cdot b'(s)=a'(s)\cdot a'(s)+a'(s) \cdot \frac{N'}{\kappa}- a'(s) \cdot \frac{N\kappa'}{\kappa^2}$

\= $1+a'(s) \cdot \frac{(-\kappa a'(s))}{\kappa}+0$

\= $1-1=0$

entonces $b(s)$ parece ser una evoluta de $a(s)$... ¿pero cómo mostramos unicidad? y ¿qué garantiza que $b(s)$ esté en el mismo plano que $a(s)$?

Answer 1

Sea $b$ una evoluta que yace en el plano de $a$. Dado que $a' \cdot b' = T \cdot b' = 0$, por el hecho de que $T$ y $N$ son perpendiculares y $b$ yace en $span\{T, N\}$, $b'$ y $N$ son paralelos.

Supongamos que $b - a = \mu N$ para alguna función escalar $\mu(s)$, al diferenciar ambos lados obtenemos $$b' - a' = b' - T = \mu' N + \mu (-\kappa T)$$

Nuevamente, dado que $b'$ y $N$ son paralelos y $\{T, N\}$ es linealmente independiente, sabemos que $\mu = 1 / \kappa$.

Por lo tanto, cualquier $b$ debería ser suficiente para que $b = a + \frac{N}{\kappa}$.