Tenemos una función $\pi: A \times B \rightarrow A$ definida como $\pi(a,b) = a$. Algunos términos adicionales, solo para ser perfectamente claros:
- El dominio de $\pi$ es $A \times B$
- El codominio de $\pi$ es $A
- El recorrido de $\pi$ es un subconjunto del codominio, y es el conjunto de todos los puntos a los que se mapea el dominio, es decir, $\{\pi((a,b)) : (a,b) \in A \times B\}$.
Un punto que vale la pena señalar es que decir que una función es sobreyectiva es equivalente a decir que su recorrido es exactamente igual a su codominio.
Prueba de la sobreyectividad: consideremos cualquier $y$ arbitrario en el recorrido de $\pi$. Como mencionaste, queremos mostrar que existe un $(a,b) \in Dominio(\pi) = A \times B$ tal que $\pi((a,b)) = y$ para demostrar que nuestra función es sobreyectiva. Dado que $Recorrido(\pi) \subseteq Codominio(\pi) = A$, y como $y \in Recorrido(\pi)$, entonces $y \in A$. Observa que $f((y,b)) = y$, para cualquier $b \in B. Por lo tanto, cualquier elemento de la forma $(y,b)$ donde $b \in B$ será mapeado a $y$. Dado que nuestra elección de $y \in Recorrido(\pi)$ fue arbitraria (es decir, no asumimos nada sobre $y$ aparte de que está en el recorrido), hemos demostrado nuestra afirmación para todos los $y \in Recorrido(\pi)$. Por lo tanto, $\pi$ es subjetiva.
Prueba de que $\pi$ no es inyectiva: podemos mostrar directamente que $\pi$ no es inyectiva produciendo dos elementos $x, x^\prime$ en el dominio tales que $\pi(x) = \pi(x')$ pero $x \not = x^\prime.$ Elije cualquier $a \in A.$ Ahora selecciona dos elementos diferentes $b, b^\prime \in B. Importante: aquí es donde usamos la suposición de que |B| > 1. Si no tuviéramos esta suposición, por ejemplo, si hubiera solo un elemento en $B$, no podríamos seleccionar dos elementos diferentes de él. Luego establece $x = (a, b)$ y $x^\prime = (a, b^\prime)$. Por lo tanto, $\pi(x) = \pi(x^\prime) = a$ pero $x \not = x^\prime.
