Sección global que tiene cero implica un haz trivial?

Question

Sea $X$ una variedad suave y $E \to X$ un haz vectorial. Estoy tratando de entender y demostrar la siguiente afirmación. Si $s$ es una sección global de $E$ y $s(x) = 0$ para algún $x \in X$, entonces existen funciones $\alpha_i$ en el ideal maximal $\{f \in C^\infty(M) :f(x) = 0\}$ de $C^\infty(M)$ y secciones globales $s_i$ tales que $s = \sum_i \alpha_i s_i$.

No estoy seguro de entender lo que esto significa. Parece que está diciendo que si tenemos una sección global que tiene un cero, ¿entonces obtenemos un marco global para el haz? ¿No obligaría esto a que $E$ sea trivial?

Answer 1

Los $s_i$ no necesariamente deben ser un marco, es decir, podrían tener ceros lejos de $x$. Si trivializas el haz localmente alrededor de $x$, con marco local $\{\tilde s_i\}$, y multiplicas las $\tilde s_i$ con una función de soporte, obtienes secciones globales $s_i$, que forman una base de $E$ en $x$.