Supongamos que $f(x)$ es continua en $(0, \infty)$ tal que para todo $x > 0$ , $f(x^2) = f(x)$ . Demostrar que $f$ es una función constante.

Question

Supongamos que $f(x)$ es continua en $(0, +\infty)$ tal que para todo $x > 0$ , $f(x^2) = f(x)$ . Demostrar que $f$ es una función constante. Mi intento es demostrar que para cualquier punto $a \neq b$ tenemos $f(a)=f(b)$ . Pero no tengo ni idea de cómo conseguirlo. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Sugerencia :

$$\begin{align}f(x^2)=f(x)=f(\sqrt{x})= \cdots=& f(x^{\frac{1}{2^n}}) \\ f((x+1)^2)=f(x+1)=f(\sqrt{x+1})= \cdots=& f((x+1)^{\frac{1}{2^n}}) \\ \vdots\hspace{ 1 cm }=\cdots=&\hspace{ 1 cm }\vdots \\ f((x+k)^2)=f(x)=f(\sqrt{x+n})= \cdots=& f((x+k)^{\frac{1}{2^n}}) \end{align}$$

O intenta mostrar que hay NO tal función que es continua en $(0, +\infty)$ por contradicción.

Answer 2

Según tengo entendido: $$f(x) = f(x^2)\quad \Rightarrow$$ $$ f(x^\frac{1}{2}) = f(x)\quad \Rightarrow$$ $$f(x) = f(x^\frac{1}{2^n})_{n \in N}$$
toma $a,b \in (0,+\infty)$ entonces:

$$f(a) =\lim_{n\rightarrow\infty} f(a^\frac{1}{2^n})=f(1)$$ $$f(b) =\lim_{n\rightarrow\infty} f(b^\frac{1}{2^n})=f(1)$$ $$f(a)=f(b)\Rightarrow_{def}\mathtt {f\quad is\quad constant}$$

¿Es correcto? ¿Es riguroso?
Mi proceso de pensamiento fue: la continuidad tiene límite en su definición, así que probablemente tenga que usar el límite al escribir mi prueba.

Answer 3

Intenta demostrar la afirmación utilizando la contradicción. Supongamos que $f(x^2) = f(x)$ para todos $x$ y que hay un punto $a$ tal que $f(a) \neq f(1)$ . Demostrar que $f$ no puede ser continua en $x=1$ .

Answer 4

Primero es útil encontrar la constante. Eso es fácil, sería $C = f(1)$ .

Supongamos ahora que $f(x) = D$ para algunos $x > 1$ y algunos $D \ne C$ . Entonces hay un mínimo $x_0 > 1$ con esta propiedad. ¿Qué es $f( \sqrt{x_0})$ ? ¿Se puede llegar a una contradicción desde ahí? ¿Cómo se maneja el caso $x < 1$ ?