¿Cómo probar la regla de L'Hospital usando el método $\varepsilon$-$\delta$?

Question

Para las demostraciones de $\varepsilon$-$\delta$, básicamente necesitamos encontrar un $\delta$ tal que $|F(x)-L|<\epsilon$ siempre que $0<|x-a|<\delta$ (para un número positivo pequeño $\epsilon$).

Para demostrar la regla de L'Hospital (cuando tanto la función del numerador como del denominador tienden a $0$ cuando $x\rightarrow a^{+}$), asumamos $F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$. Donde, $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=0$ y $\lim_{x\rightarrow a^{+}}g(x)=0$.

Reclamo que $L=\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$. Ahora necesito demostrar que este $L$ es de hecho el límite.

$$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\right|<\epsilon.$$

Pero después de esto no entiendo cómo encontrar $\delta$ como función de $\epsilon$, para que pueda completar la demostración. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Debe asumir que $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ existe. Esto significa que para cualquier $\varepsilon > 0 $ existe un $\delta > 0 $ tal que $$\tag{$\ast$}\quad\quad\quad\quad\left| \frac{f^\prime(y)}{g^\prime(y)}- \lim_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\right|< \varepsilon$$ cuando $|y-a|< \delta$.

Ahora la versión de Cauchy del teorema del valor medio afirma que, si $f$ y $g$ son diferenciables en $[b,a]$, por ejemplo, y $x\in [b,a]$, y si $g(x)-g(a)\neq 0$, entonces existe un $c\in (x, a)$ tal que $$\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a) }=\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}$$ Supongo que esto se conoce, la parte complicada es poder elegir $c$ tanto para el numerador como para el denominador simultáneamente. Esto también es cierto solo si $a\neq \infty$, por lo que la siguiente prueba de l'Hopital solo funciona bajo esta suposición adicional.

Ahora observemos la afirmación. Elija $\varepsilon > 0$. Quiere estimar $$\left| \frac{f(y)}{g(y)}- \lim_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\right| < \varepsilon$$ para $y$ cerca de $a$. Elija $\delta >0 $ de manera que $(*) $ sea verdadero para su elección de $\varepsilon$. Por el teorema del valor medio (versión de Cauchy) y la suposición $f(a)=g(a) =0$, la diferencia que está observando es exactamente la misma que $$\left| \frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}- \lim_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\right|$$ para algún $c\in (y,a)$ que es $<\varepsilon$ por $(*)$ solo si $|y-a| < \delta$.