Mostrando: Si $w\in C\ell^1(V,Q)$ anticonmuta con todos los $v\in V$, entonces $w=0"

Question

Muestra que si un elemento de la parte impar del Álgebra de Clifford anticonmuta con todo en el espacio vectorial, entonces es 0.

He estado teniendo mucho problemas progresando con esto.

Answer 1

Sea $I=e_1\dots e_n$ un pseudoesclar de $cl(V,Q)$. Dado que $we_i=-e_i w$ para todo $i$, obtenemos $wI=(-1)^nIw$. Por otro lado, en general, tenemos $Iw=a^{n-1}(w)I$, donde $a$ es la involución de grado de $cl(V,Q)$. Por supuesto, $w$ es un elemento impar, por lo tanto, $a(w)=-w$. Por lo tanto, comparando las dos ecuaciones, obtenemos $2wI=0$. Supongamos que $char(F)\neq2$. Es fácil ver que $I$ es invertible. Por lo tanto, tenemos $w=0.

Answer 2

Si $\operatorname{char} F \neq 2$, entonces tenemos $uv+vu=2(u,v)$. Ahora tenemos $(u,v)=0, \forall v\in V$. Si la forma no es degenerada deberíamos tener $u=0$. Pero si la forma es degenerada - como constante 0 - entonces $u$ NO necesariamente es 0. Un ejemplo es el álgebra exterior $\bigwedge V$ con la multiplicación de álgebra de Clifford escrita en una base ortogonal (Referencia, Sternberg, Capítulo 10).