Reed,Simon Teorema XII.1: Uso de la sustitución recursiva en la demostración

Question

Tenemos una función $F(\beta,\lambda)$ (polinomio de grado $n$) que es analítica cerca de $\beta_0$ y $\lambda_0$. Por lo tanto, podemos escribir $$F(\beta,\lambda)=\sum_{m=0}^n(\lambda-\lambda_0)^mf_m(\beta)$$ donde $f_0(\beta_0)=F(\beta_0,\lambda_0)=0$ y $f_1(\beta_0)=\frac{\partial F}{\partial\lambda}(\beta_0,\lambda_0)\neq0$. Queremos resolver la ecuación $F(\beta,\lambda)=0$, que es equivalente a \begin{equation} \lambda=\lambda_0-\frac{f_0(\beta)}{f_1(\beta)}-\sum_{m=2}^n(\lambda-\lambda_0)^m\frac{f_m(\beta)}{f_1(\beta)} \end{equation} Intentamos resolver esta ecuación con una solución en la forma $$\lambda(\beta)=\sum_{k=1}^\infty\alpha_k(\beta-\beta_0)^k$$ Mediante el uso de la sustitución recursiva en la última ecuación podemos calcular los $\alpha_k$'s $$\alpha_1=-\left[\frac{f_0(\beta)}{f_1(\beta)}\right]'\bigg|_{\beta=\beta_0}\ ,\quad \alpha_2=-\frac{1}{2}\left[\frac{f_0(\beta)}{f_1(\beta)}\right]''\bigg|_{\beta=\beta_0}-\alpha_1^2\frac{f_2(\beta_0)}{f_1(\beta_0)}$$

Realmente no veo cómo utilizamos la sustitución recursiva y de dónde provienen las fórmulas de $\alpha_1$ y $\alpha_2$. Cuando comparo las dos ecuaciones y expando en serie de Taylor $f_0(\beta)$ y $f_1(\beta)$ cerca de $\beta_0$, termino con todas las derivadas superiores de la expansión. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Para mayor brevedad, escriba $z = \beta - \beta_0$, $w = \lambda - \lambda_0$, y $h_m(z) = -f_m(z+\beta_0)/f_1(z+\beta_0)$ para $m \neq 1$ y $h_1(z) = 0$ de manera que la ecuación se convierta en $$w = \sum_{m=0}^n h_m w^m \tag{1}$$ Supongamos que una función analítica $w(z) = \sum_{k \ge 0} \alpha_k z^k$ satisface (1) en un vecindario de $0$. Expresar $h_m(z) = \sum_{k\ge 0} \beta_k^m z^k$ y sustituir esta expresión en $(1)$, expandir y hacer coincidir los coeficientes de los $z^k$'s para obtener: $$\alpha_k = \sum_{m=0}^n \sum_{|\gamma| = k} \prod_{i=1}^m \alpha_{\gamma_i} \beta_{\gamma_{m+1}}^m \tag{2}$$ Donde $|\gamma| = \gamma_1 + \gamma_2 +\cdots + \gamma_{m+1}$. Observar que ningún $\alpha_k$ aparece en $(2)$ porque eso implicaría que algún $\gamma_i = k$, por lo que cualquier otro $\gamma_j=0$ para $j \neq i$, lo que obliga a la multiplicación por $\alpha_0=0$. Esto muestra que $(2)$ funciona como una definición recursiva para los $\alpha_k$'s y que todos los $\gamma_i \ge 1$.

Ahora elija $z$ en la intersección de los discos de convergencia de cada $h_m$ de manera que, para todos $m$, la convergencia absoluta da: $$C = \max_m \left\{\sum_{k\ge 0} |\beta_k^m| |z|^k\right\}< \infty$$ Se sigue que para cualquier $r \ge 1/|z|$ debemos tener $|\beta_k^m|\le C r^k$.

Finalmente, defina $K = \max\{C, 2n\}$, $A = \frac 1{2K}$ y $R = \max\{1, r, |\alpha_1|, |\alpha_2|\}/A$ para que $|\alpha_1|\le AR$, $|\alpha_2|\le AR^2$, y $q := r/R \le A\Rightarrow 2A - q \ge A \Rightarrow (1-q/2A)^{-1}\le 2$. Para $k\ge 3$, aplique la Desigualdad del Triángulo e hipótesis de inducción fuerte en $(2)$ para obtener:

\begin{align} |\alpha_k| &\le \sum_{m=0}^n \sum_{|\gamma| = k} \prod_{i=1}^m |\alpha_{\gamma_i}| |\beta_{\gamma_{m+1}}^m| \le \sum_{m=0}^n \sum_{|\gamma| = k} (AR)^{\gamma_1 + \cdots +\gamma_m} Cr^{\gamma_{m+1}} = C\sum_{m=0}^n \sum_{|\gamma| = k} (AR)^{k - \gamma_{m+1}} r^{\gamma_{m+1}} \\ & = CA^kR^k\sum_{m=0}^n \sum_{|\gamma| = k} (q/A)^{\gamma_{m+1}} = CA^kR^k\sum_{m=0}^n \sum_{i=0}^k \sum_{\gamma_1 + \cdots + \gamma_m = k - i}(q/A)^{i} \end{align} Según la observación después de $(2)$, sabemos que $\sum_{\gamma_1 + \cdots + \gamma_m = k - i}(q/A)^{i}$ contiene $\binom{k-i-1}{m-1} \le 2^{k-i-1}$ términos (ver Teorema 1 de aquí). Esto, junto con las desigualdades dadas después de la definición de $K$, da:

\begin{align} |\alpha_k|&\le AR^k\left[C(2A)^{k-1}n \sum_{i=0}^k (q/2A)^{i}\right] \le AR^k\left[C(2A)^{k-1}n (1-q/2A)^{-1}\right] \\ &\le AR^k\left[2nK^{2-k}\right] \le AR^k\left[2n/K\right] \le AR^k \end{align}