¿Por qué está aniquilando m a M/mM?

Question

Sea R un anillo local noetheriano con ideal maximal m. Si M es un R-módulo, ¿por qué es m el aniquilador de M/mM?

Answer 1

El aniquilador de $M/\mathfrak{m}M$ es un ideal de $R$ que contiene a $\mathfrak{m}$, por lo tanto es igual a $\mathfrak{m}$ o a $R$ mismo. Pero si el aniquilador es $R$ mismo, entonces $M/\mathfrak{m}M$ es cero, por lo que $M=0$ por el lema de Nakayama.