Una matriz es simétrica si y solo si sus espacios propios son ortogonales

Question

Estaba mirando una publicación sobre la ortogonalidad de los eigenvectores de una matriz simétrica, y quería ver si la siguiente afirmación es verdadera, y por qué?

Una matriz es simétrica si y solo si sus espacios propios son ortogonales.

¿Es esto cierto y por qué?

Answer 1

En esta forma no es exactamente cierto. Por ejemplo, podemos tomar una matriz que no tenga ningún espacio propio, como $$ A=\left(\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}\right). $$ No es simétrica y técnicamente todos sus espacios propios son ortogonales))

Sin embargo, lo siguiente es cierto: una matriz cuadrada real $n\times n$ $A$ es simétrica si y solo si todos sus espacios propios son ortogonales y la suma de estos espacios propios es todo $\mathbb{R}^n$. Esta condición es equivalente a decir que existe una base ortonormal consistente de eigenvectores de $A$, y este es el enunciado del post al que hiciste referencia.

ACTUALIZACIÓN: Si estás interesado en la misma pregunta pero para matrices sobre $\mathbb{C}$ y usando la ortogonalidad que surge del producto interno estándar $(a,b) = \sum a_i \overline{b}_i$, entonces la afirmación no es cierta. El contraejemplo es la misma matriz $A$ mencionada anteriormente. No es simétrica y no es hermitiana, pero tiene dos espacios propios generados por los vectores $(1, i)^T$ y $(1, -i)^T$ que son ortogonales.

Answer 2

Una definición de "simétrico" que debería resultar útil aquí es: si < , > es un producto interno canónicamente elegido, decimos que T es simétrico si y solo si para todos los vectores $u,v \in V$ tenemos < u, Tv> = < Tu, v>.

Supongamos que la dimensión de V es igual a la suma de las dimensiones de los espacios propios $E_1,...,E_k$ asociados a los autovalores $\lambda_1,...,\lambda_k$. Luego podemos escribir cualquier vector $u,v \in V$ como $\sum_{i=1}^k u_i$ y $\sum_{i=1}^k v_i$ respectivamente. < u, Tv> puede ser reescrito como <$\sum u_i$, T $\sum v_i$> = < $\sum u_i$, $\sum T v_i$> = < $\sum u_i$, $\sum \lambda_i v_i$>.

Ahora utilizamos la ortogonalidad. Si los espacios propios son ortogonales entre sí, entonces esta expresión se convierte en $\sum$ < $u_i$, $\lambda_i v_i$> = $\sum \lambda_i$< $u_i$, $v_i$> = $\sum$ < $\lambda_i u_i$, $v_i$> = < $\sum \lambda_i u_i$, $\sum v_i$> = < Tu, v>.

La implicación inversa no es difícil, simplemente considera la igualdad < u, Tv> = < Tu, v> cuando u, v son dos eigenvectores correspondientes a dos autovalores diferentes.