Mostrar esta desigualdad $\sqrt{\frac{a^b}{b}}+\sqrt{\frac{b^a}{a}}\ge 2$

Question

Sea $a,b>0.$ Demostrar que $$\sqrt{\dfrac{a^b}{b}}+\sqrt{\dfrac{b^a}{a}}\ge 2\tag{1}$$

Sé cómo demostrar que $a^b+b^a>1$, donde $a,b>0.$ Ver $x^y+y^x>1$ para todo $(x, y)\in \mathbb{R_+^2}$

Para demostrar $1$, quiero usar la desigualdad AM-GM $$\sqrt{\dfrac{a^b}{b}}+\sqrt{\dfrac{b^a}{a}}\ge 2\left(\dfrac{a^b}{b}\cdot\dfrac{b^a}{a}\right)^{1/4}=2\left(a^{b-1}b^{a-1}\right)^{1/4}$$

Pero $a^{b-1}b^{a-1}$ no siempre es mayor que $1$

Answer 1

Usando nuevamente la desigualdad de Young generalizada tenemos :

$$\left(\frac{1}{a^{b}}+\frac{1}{x^{b}}\right)\left(a^{\sqrt{2^{-1}}x^{\left(1-b\right)}}\cdot x^{\left(\sqrt{2^{-1}}\left(a\right)^{\left(1-b\right)}\right)}\cdot a^{\frac{\left(b-0.5\right)\sqrt{2}}{a^{b}}}\cdot x^{\frac{\left(b-0.5\right)\sqrt{2}}{x^{b}}}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}a^{-b}+\frac{\sqrt{2}}{x^{b}}}}\leq \left(\sqrt{\frac{x^{a}}{a}}+\sqrt{\frac{a^{x}}{x}}\right)$$

donde $b\to1$ y $a,x>0$

Conjetura final :

Dados $a,x>0$ entonces parece que tenemos :

$$\left(\frac{1}{a^{b}}+\frac{1}{x^{b}}\right)\left(a^{\sqrt{2^{-1}}x^{\left(1-b\right)}}\cdot x^{\left(\sqrt{2^{-1}}\left(a\right)^{\left(1-b\right)}\right)}\cdot a^{\frac{\left(b-0.5\right)\sqrt{2}}{a^{b}}}\cdot x^{\frac{\left(b-0.5\right)\sqrt{2}}{x^{b}}}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}a^{-b}+\frac{\sqrt{2}}{x^{b}}}}\geq 2$$

Donde $b\to 1$

Pienso que podemos afirmar $b=1$ también funciona .

Usando un poco de álgebra (introduciendo logaritmos y invirtiendo las variables)

Necesitamos mostrar :

$x,a > 0$, necesitamos probar que $$f\left(x\right)=(x+a)\ln\frac{a+x}{2}-\frac{\left(a+1\right)\ln a+\left(x+1\right)\ln x}{2} \ge 0.$$

Una prueba de este hecho se puede encontrar aquí :

Probar $2(x + y)\ln \frac{x + y}{2} - (x + 1)\ln x - (y + 1)\ln y \ge 0$

Answer 2

COMENTARIO.- Tengo dificultades para escribir en inglés así que presentación esquemática.

► $f(x,y)=\sqrt{\dfrac{x^y}{y}}$

► Hay que demostrar que para todo punto $(a,b)$ del primer cuadrante $$f(a,b)+f(b,a)\ge 2$$ ► Para todo valor positivo $k$ las curvas $f(x,y)=k$ y $f(y,x)=k$ son simétricas respecto a la recta $y=x$.

► Se puede usar la curva negra de arriba para reducir el problema a demostrar que el complemento de la región definida por $$f(x,y)\ge 2$$ porque para cualquier punto en la región sombreada la desigualdad propuesta se verifica trivialmente (un término de la suma, $f(x,y)$, ya es mayor que $2$). Notar que se descarta una vecindad de $0$ que es "natural" porque involucra un denominador muy pequeño.

► Ahora podemos reducir la región blanca con la función simétrica $f(y,x)=\sqrt{\dfrac{y^x}{x}}=2$ (notar que para todo punto $(b,a)$ "encima" de esta curva, su punto simétrico $(a,b)$ satisface $f(a,b)\gt2$ entonces $f(a,b)+f(b,a)\ge 2$).

► Así que queda por demostrar la desigualdad para los puntos dentro de la región blanca.

PISTA.- Sea la recta $L: y = -x + a$ donde $a$ varía en el intervalo $[0.36,5.02]$ (estos números corresponden a los valores de $a$ para los puntos de intersección de las dos curvas simétricas consideradas). Vamos a demostrar que cada punto $(a,b)$ del segmento $\overline{PQ}$, donde $P$ y $Q$ son los puntos de intersección de la recta con dichas curvas, satisface la desigualdad.

Para esto, sea $F$ la función $$F(x)=\sqrt{\frac{x^{a-x}}{a-x}}+\sqrt{\frac{(a-x)^x}{x}}$$ y estudiamos su variación. Por ejemplo, para $a=4$, si el punto $P=(x_0,y_0)$ entonces $x_0\approx 0.426$ y $F(0.426)\approx2.1247\gt2$ (idealmente obviamente debe ser igual a $2$). En el punto donde $x=y$, cuando $x=2$ (debido a $x=-x+4$) se tiene $F(2)\approx2.8284\gt2$ y el mínimo de $F(x)$ es igual a $2.087\gt2$ y el estudio de la curva se puede detener aquí (por simetría). Similarmente con todos los otros segmentos con $a\in[0.36,5.02]$, el problema con $a\ne4$ es análogo. Se puede verificar que para valores de $a$ en $[1.77,2.3]$ el mínimo de la función $F(x)$ está muy cerca de $2$ pero siempre es mayor que $2$.

Es claro que también se puede calcular el mínimo de $F(x)$ para un valor literal de $a$ perteneciente al intervalo mencionado anteriormente.