Evaluando $\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos(t)} \ \mathrm{d}t$

Question

Contexto: Estoy tratando de evaluar la longitud total de la siguiente curva: $\gamma: (0,2\pi) \to \mathbb{R^2}, \gamma(t)=\bigg(t+\sin(t), 1-\cos(t)\bigg)$.

$$\underline{\text{Mi trabajo}}$$ $$\begin{align}s=\int_0^{2\pi}|\gamma'(t)| \ \mathrm{d}t&=\int_0^{2\pi} \sqrt{\left[1+\cos(t)\right]^2+\sin^2(t)} \ \mathrm{d}t \\ \ \\&=\int_0^{2\pi} \sqrt{1+2\cos(t)+\cos^2(t)+\sin^2(t)} \ \mathrm{d}t \\ \ \\&=\int_0^{2\pi} \sqrt{2+2\cos(t)} \ \mathrm{d} t\\ \ \\&=\sqrt{2} \int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos(t)} \ \mathrm{d}t \\ \ \\&=??\end{align}$$

¿Alguna idea sobre una sustitución adecuada?

Answer 1

Utilice la identidad trigonométrica

$$1 + \cos t = (\cos^2 \tfrac{t}{2} + \sin^2 \tfrac{t}{2}) + (\cos^2\tfrac{t}{2} - \sin^2 \tfrac{t}{2}) = 2 \cos^2 \tfrac{t}{2}.$$

Answer 2

Un método alternativo (que no es tan simple como usar la fórmula del semiangulo) es multiplicar por $\sqrt{1-\cos t}$ en la parte superior e inferior para obtener

$\displaystyle\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{\left|\sin t \right|}{\sqrt{1-\cos t}} dt=\sqrt{2}\left[\int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{\sqrt{1-\cos t}}dt+\int_{\pi}^{2\pi}\frac{-\sin t}{\sqrt{1-\cos t}} dt\right]$

$\;\;\;\displaystyle=\sqrt{2}\left(\left[2\sqrt{1-\cos t}\right]_{0}^{\pi}-[2\sqrt{1-\cos t}]_{\pi}^{2\pi}\right)=\sqrt{2}(2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2}))=8.

(Nota que hay discontinuidades removibles en los extremos.)