Resolviendo una ecuación diferencial estocástica simultánea (cerrada)

Question

Tengo las dos siguientes ecuaciones diferenciales estocásticas en forma diferencial/Ito que se cierran entre sí de la siguiente manera

$$ dA_{s}(t)=\alpha A_{s}(t)dt +\beta A_{i}(t)dt+dW_{s}(t) \\ dA_{i}(t)=\alpha^{*} A_{i}(t)dt +\gamma A_{s}(t)dt+dW_{i}(t) $$

donde $\alpha,\beta,\gamma$ son constantes y $dW_{s,i}$ denotan incrementos de Wiener para $A_{s}$ y $A_{i}$ respectivamente. ¿Cómo se podría resolver esto? Ingenuamente, dividiría ambos lados de las dos ecuaciones entre $dt$ y formaría un sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneas, y procedería a resolverlas convencionalmente. Pero la derivada del proceso de Wiener no está definida. ¿Cómo se debería abordar esto?

Answer 1

Escribamos el sistema en forma de matriz $$d\mathbf{A}=\mathbf{M}\mathbf{A}dt+d\mathbf{W} \tag{1}$$ con $$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} A_s(t)\\ A_i(t) \end{pmatrix} $$ $$\mathbf{M}=\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ \alpha^* &\gamma \end{pmatrix} $$ $$\mathbf{W}=\begin{pmatrix} W_s(t)\\ W_i(t) \end{pmatrix} $$

Diagonalicemos $\mathbf{M}$: $\mathbf{M}=\mathbf{U}^{-1}\mathbf{D}\mathbf{U}$ con $\mathbf{D}$ -matriz diagonal, entonces $$\begin{align} (1)&\Longleftrightarrow d(\mathbf{A}) = \mathbf{U}^{-1}\mathbf{D}\mathbf{U}\mathbf{A}dt+d\mathbf{W}\\ &\Longleftrightarrow d(\mathbf{U}\mathbf{A}) = \mathbf{D}\mathbf{U}\mathbf{A}dt+\mathbf{U}d\mathbf{W}\\ &\Longleftrightarrow d(\mathbf{V}) = \mathbf{D}\mathbf{V}dt+\mathbf{U}d\mathbf{W}\tag{2} \end{align}$$ con $\mathbf{V} :=\mathbf{U}\mathbf{A}$

Dado que $\mathbf{D}$ es una matriz diagonal, $(2)$ puede resolverse fácilmente para $\mathbf{V}$.

(Por ejemplo, la primera ecuación de $(2)$ será $$dV_1(t) = d_1 V_1(t)dt + \eta_{11} dW_s(t) +\eta_{12} dW_i(t) \tag{3}$$ y la EDS $(3)$ puede resolverse fácilmente. Lo mismo para la segunda ecuación de $(2)$ )

y así

$$\mathbf{A} = \mathbf{U}^{-1}\mathbf{V}$$