El área de la capa esférica es $\pi r^2$. ¿Pero por qué?

Question

(Si te sorprende el título — $r$ no es lo que (quizás) piensas que es : )

Sea $x$ un punto en una esfera $S$ y sea $U$ una esfera con centro en $x$ que se intersecta con $S$.

Reclamo¹. El casquete esférico cortado de $S$ y el círculo cortado de $T_xS$ (plano tangente a $S$ en $x$) tienen la misma área.

En otras palabras, el área de un casquete esférico es $\pi r^2$ donde $r$ es la distancia desde su centro $x$ hasta su borde. (Así que tenemos una fórmula muy simple para el área del círculo en geometría esférica. ¡Pero es algo extraño: $r$ no es ni el radio esférico ni el radio euclidiano del círculo!)

Pregunta. ¿Cómo probar esto geométricamente?

Se puede demostrar mediante un cálculo directo², pero seguramente debería haber... ¿alguna explicación de por qué este mapeo de una esfera a un plano conserva el área, quizás?

Un caso especial interesante es $r=2R$ (donde $R$ es el radio de $S$). El 'casquete' en este caso es toda la esfera — y $\pi r^2=4\pi R^2$. Por lo tanto, una (buena) respuesta a mi pregunta daría (otra vez) una explicación de la fórmula del área de la superficie de la esfera.

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¹ Aprendí esto de A. Akopyan.

² Por ejemplo: la altura del casquete es $r^2/2R$ (porque $h/r=(r/2)/R$), así que por el lema del sombrero de Arquímedes el área es $2\pi R\cdot r^2/2R=\pi r^2$.

Answer 1

No conozco una explicación geométrica simple para el área total, pero infinitesimalmente, si la longitud del arco es $a$ y la longitud de la cuerda es $r$, en el límite de pequeños incrementos $da$ y $dr$, por triángulos similares tenemos:

$$\frac{da}{dr}=\frac{r}{\rho}$$

donde $\rho$ es la distancia ortogonal del punto final del arco/cuerda desde un diámetro que pasa a través del punto inicial. En coordenadas esféricas, $\rho = R \sin \theta$.

Si el área de la tapa esférica es $A$, tenemos:

$$\frac{dA}{da} = 2\pi \rho$$ $$\frac{dA}{dr} = \frac{dA}{da} \frac{da}{dr} = 2\pi r $$

Answer 2

No es una prueba completamente geométrica de por qué el mapa preserva áreas, pero espero que ayude.