Una familia de productos subdirectos indexados por gráfico

Question

He estado trabajando recientemente con una familia de productos subdirectos y parece lo suficientemente elemental como para sospechar que podría haber algo escrito sobre ellos ya. Aquí está la idea.

Sea $\Gamma$ un grafo simple en el conjunto $\{1, \ldots, n\}$ y sea $G$ un grupo. Definiremos un subgrupo de $G^n$. Para cada $g \in G$ y $i \in \{1, \ldots, n\}$ definimos $g_i$ como el elemento de $G^n$ con un $g$ en la posición $i$, y también en cada posición $j$ tal que $j$ es adyacente a $i$. Luego definimos $G^\Gamma$ como el subgrupo de $G^n$ generado por todos los $g_i$.

Por ejemplo, supongamos que $\Gamma$ es un camino de longitud 2, con aristas que conectan 1 con 2 y 2 con 3. Entonces $G^\Gamma$ está generado por elementos de la forma $(g, g, 1), (g, g, g)$, y $(1, g, g)$. No es difícil demostrar que en este caso obtenemos todo $G^3$.

Como otro ejemplo simple, si $\Gamma$ es un grafo completo, entonces $G^\Gamma$ es el subgrupo diagonal de $G^n$.

¿Alguien ha visto esta familia de productos subdirectos antes?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero quizás sea una observación interesante.

Sea $G$ un grupo y sea $A$ una matriz $m\times n$ con entradas enteras.

Para cada fila $R$ de $A$ y $g\in G$, sea $g^R$ el elemento de $G^n$ tal que la entrada en la posición $i$ es $g^{R_i}$.

(Por ejemplo, $g^{[1,0,2,-1]}=(g,1,g^2,g^{-1})$.)

Ahora, sea $G^A=\langle g^R\rangle\leq G^n$, donde $g^R$ recorre cada fila $R$ y cada $g\in G$.

(Nota que $G^A$ generaliza $G^\Gamma$, solo toma $A$ como la matriz de adyacencia de $A$ más la matriz identidad.)

Ahora, tenemos las siguientes observaciones:

• Aplicar operaciones de fila invertibles (sobre los enteros) a $A$ no afecta a $G^A$. (Permutar filas o multiplicar una fila por $-1$ no cambia el conjunto generador, agregar una fila a otra sí cambia el conjunto generador pero no el grupo generado, porque $g^{R+S}=g^Rg^S$.)

• Permutar columnas o multiplicar una columna por $-1$ sí cambia $G^A$, pero no su tipo de isomorfismo.

• Agregar una columna a otra puede cambiar el tipo de isomorfismo de $G^A$.

El último es lamentable, porque de otra forma, podríamos reducir $A$ a la forma normal de Smith y esto nos daría el tipo de isomorfismo de $G^A$.

Aun así, esto es útil para simplificar el problema y puede resolverlo en algunos casos.

Por ejemplo, sea $\Gamma$ un grafo de camino en $n$ vértices (así de longitud $n-1$) y sea $A$ la matriz de adyacencia de $\Gamma$ más la matriz identidad. Se puede comprobar que, si $n\not\equiv 2 \pmod 3$, entonces $A$ puede reducirse a la matriz identidad usando solo las operaciones permitidas arriba (sin agregar una columna a otra), y por lo tanto en ese caso $G^\Gamma=G^n$.