Preguntas verdadero/falso sobre polinomios mínimos y característicos de una matriz

Question

Tenemos la matriz $A= \begin{pmatrix} 0 &2 &2 \\ 2& 0 &2 \\ 2& 2 & 0 \end{pmatrix}$, entonces una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

1. $f_A(x)=m_A(x) $

2. La matriz $C=A^4-4A^2+5I$ no es diagonalizable sobre $\mathbb R$

3. Para la matriz $B=A^5+6A^3+A^2-I$ tenemos $f_B(x)\neq m_B(x)$

4. Para la matriz $B=A^5+6A^3+A^2-I$ tenemos que $f_B(x)$ es un polinomio simple sobre $\mathbb C$

EDIT: Entiendo que $f_A(x) = x(2+x)(2-x)$ y parece que no puedo anular la matriz con ninguna combinación más pequeña que $f_A$, así que quizás es verdad.

Para 2 obtengo que los eigenvalores de $A$ no anulan $x^4-4x^2=x^2(x^2-4)=-5$, pero no estoy seguro de qué pensar al respecto.

Para 3, tenemos $f_B(x) = x^2(x^3+6x+1)-1$ (?) que no puede ser un polinomio minimal, así que tal vez es verdad.

Para 4, no creo que sea cierto por la misma razón que 3.

Notas: $f_A(x)$ es el polinomio característico de $A$, $m_A(x)$ es el polinomio minimal de A, un polinomio "simple": $x(x+1)$, no polinomio "simple": $x^2(x+3)$

Answer 1

La matriz $A$ es real y simétrica, por lo que debe ser diagonalizable. Por lo tanto, el polinomio minimal (supuestamente llamado $m_A$) tiene raíces simples.

La matriz $A+2I$ tiene rango $1$ y traza $6$, por lo que su polinomio característico es $X^2(X-6)$, y el polinomio característico de $A$ (supuestamente llamado $f_A$) se obtiene sustituyendo $X+2$ por $X$: $f_A=(X+2)^2(X-4)$ (alternativamente, se puede ver directamente que $\lambda=-2$ es un valor propio con multiplicidad geométrica $~2$, y el valor propio restante debe ser $4$ para que su suma sea igual a $0$, la traza de $~A$). Dado que esto tiene una raíz doble, el punto 1 debe ser incorrecto. De hecho, ahora se obliga a que $m_A=(X+2)(X-4)$.

Cualquier polinomio de una matriz diagonalizable es diagonalizable (en la misma base de autovectores), por lo que el punto 2 también debe ser falso.

De hecho, hay un espacio propio para $A$ de dimensión $~2$ (para el valor propio $\lambda=-2$ de $A$), y esto está contenido en el espacio propio de cualquier polinomio $P[A]$ de $~A$ (para el valor propio $\lambda=P[-2]$ de $P[A]$), por lo que $f_{P[A]}$ siempre tiene una raíz múltiple, y nunca puede ser igual a $m_{P[A]}$ (por la misma razón que para $f_A$ y $m_A$ anteriormente). Por lo tanto, el punto 3 es verdadero y el punto 4 es falso, independientemente del polinomio preciso $P=X^5+6X^3+X^2-1$ utilizado allí.