Relación entre las diferentes L-funciones

Question

¿Cuál es la relación entre Artin $L$-funciones y de Dirichlet o Hecke $L$-funciones si $L/K$ es un abelian extensión? Me han dicho que uno puede interpretar la Artin $L$-funciones como estos otros $L$-funciones a través de campo de la clase de teoría. ¿Alguien puede explicar cómo se hace?

EDIT: voy a agregar esto para hacer la parte difícil de la cuestión de manera más explícita. Dado un Artin $L$-función de $L(L/K,\rho,s)$ $L/K$ abelian, ¿cómo se puede encontrar un Hecke carácter $\chi$ s.t. $L(L/K,\rho,s)=L(s,\chi)$? Estoy interesado en ver cómo esto se puede hacer de forma explícita a través de global CFT. Supongo que la ley de la reciprocidad debe hacer de esto algo "natural", dado que se conecta ray clase de grupos y grupos de Galois.

Answer 1

Tu pregunta es muy buena, Para agregar algo que yo sé que aparezca como sigue :

"Un conocido resultado de que Artin , a través de su famosa" ley de Reciprocidad " se ha demostrado que en el caso de abelian extensiones de campos de número de la Artin L-funciones de Hecke-L-funciones.

Decir Vamos a $E⁄K$ ser un abelian extensión de Galois con grupo de Galois $G$. Entonces para cualquier personaje de la $\sigma: G \to C^×$ (es decir, una dimensión compleja representación del grupo $G$), existe una Hecke carácter $\chi$ $K$ tal que

$$L^{\large\rm{Artin}}_{E/K}(\sigma,s)=L^{\large\rm{Hecke}}_{K}(\chi,s)$$

donde el lado izquierdo es el Artin $L$-la función asociada a la extensión con el carácter $\sigma$ y el lado derecho es la Hecke $L$-la función asociada con $\chi$, La formulación de la Artin ley de la reciprocidad como una igualdad de $L$-funciones permite la formulación de una generalización a n-dimensional de la representación, aunque una correspondencia directa todavía falta.

Y hablar de la totalidad de la prueba es completamente difícil y extenuante demasiado, trato de hablar de la esencia y de gran imagen.

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Un Hecke L-función como todo el mundo sabe que es un producto de Euler $L(s, χ)$ unido a un carácter $χ$ $F^× \backslash I_F $ donde $I_F$ es el grupo de ideles de $F$ . Si $v$ es un lugar de $F$ $F^{×}_{v}$ imbeds en $I_F$ $χ$ define un carácter $χ_v$$F^{×}_{v}$ . Para formar la función de $L(s, χ)$ tomamos un producto a través de todos los lugares de $F$:

$$L(s, χ) = \prod _v L(s, χ_v).$$

Un Artin $L$-función está asociada a un número finito-dimensional representación $\rho$ de un grupo de Galois $\rm{Gal}(K/F)$, $K$ siendo una extensión de la finitos grado. Se define aritméticamente y su analítica de las propiedades son muy difíciles de establecer. Una vez más $$L(s,\rho ) = L(s, \rho_v),$$ $\rho_{v}$ being the restriction of to the decomposition group. For our purposes it is enough to define the local factor when $v$ is defined by a prime $p$ and $p$ is unramified in $K$. Then the Frobenius conjugacy class $Φ_p$ in $\rm{Ga}(K/F)$ is defined, and $$L(s, \rho_{v}) = \frac{1}{\large det(I − \rho(Φ_p)/Np^s)} = \prod^{d}_{i=1}\frac{1}{\large 1 − β_i(p)/Np^s} $$, if $β_1(p), . . . , ß_d(p)$ are the eigenvalues of $\rho(Φ_p)$.

Aunque la función de $L(s,\rho )$ conectado a $\rho$ es conocido por ser meromorphic en todo el avión, Artin la conjetura de que es todo al $\rho$ es irreductible y no trivial todavía está pendiente. Artin mismo mostró este para unidimensional , y que ahora se puede demostrar que la conjetura es válida para tetraédrica $\rho$ , así como un par de octaédrico $\rho$ ( ver las referencias que he buscado en google y en la sección a continuación ) . Artin del método es mostrar que, a pesar de las diferencias en las definiciones de la función de $L(s,\rho )$ conectado a un unidimensional $\rho$ es igual a un Hecke $L$-función de $L(s, χ)$ donde $χ = χ(\rho)$ es un personaje de $F^× \backslash I_F $. Se emplearon todos los recursos disponibles de la clase de teoría de campo, y se fue más allá de ellos, para la igualdad de $L(s,\rho )$ $L(s, χ(\rho))$ todos los $\rho$ es prácticamente equivalente a la Artin ley de la reciprocidad, que afirma la existencia de un homomorphism para $I_F$ en el grupo de Galois $\rm{Gal}(K/F)$ de un abelian extensión que es trivial en $F^×$ y se lleva a $\omega_{p}$ $Φ_p$en casi todas las $p$.

La igualdad de $L(s,\rho )$ $L(s, χ)$ implica que de $χ(\omega_p)$ $\rho(Φ_p)$ en casi todas las $p$.

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Por lo que necesita para ir a través de estas cosas primero :

1. Artin la Reciprocidad de las Leyes.
2. Una fantástica descripción de Artin-L-Funciones por J. W. Cogdell que está aquí.
3. Interesante pruebas encontradas en los papeles de Artin "Über eine neue Art von L-Reihen " y " Zur theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharackteren".

Eso es todo lo que sé,

Gracias.

Answer 2

Deje $L/K$ ser un abelian extensión global de los campos. Si $C_K$ denota idèle grupo de clase de $K$, entonces el global de la clase de teoría de campo le da un isomorfismo entre el$C_K/N_{L/K}C_L$, por un lado, y el grupo de Galois $G_{L/K}$ por otro lado, llama Artin la ley de la reciprocidad. El uso de este isomorfismo, usted puede considerar el carácter de $G_{L/K}$ como un personaje de $C_K$, lo que le da la interpretación de Artin $L$-funciones como Hecke $L$-funciones.

Esta correspondencia es tan explícito, como la ley de la reciprocidad, es decir, bastante explícita. Para definir un homomorphism $C_K\rightarrow G_{L/K}$, es suficiente para decir lo que se hace en cada lugar y, a continuación, extender multiplicatively. Artin la reciprocidad mapa envía el uniformiser $\pi$ a un unramified lugar $\mathfrak{p}$ a la Frobenius elemento en $\mathfrak{p}$, es decir, el elemento único de la $G_{L/K}$ que actúa como el Frobenius en la extensión de la finitud de los campos que se obtiene mediante la reducción de la $K$ modulo $\mathfrak{p}$ $L$ modulo de prime por encima de ella. Hay trucos para el cómputo de la Frobenius elemento en un determinado prime, pero si quieres hacerlo a mano por un par de números primos en un sistema de baja tecnología manera, sólo reducir y comprobar lo que cada elemento de a $G_{L/K}$ reduce.