Integral de contorno de $\exp(iz)/z$

Question

Quiero calcular la siguiente integral: $\int_\gamma \frac{e^{iz}}{z} dz$ en el contorno $\gamma:[0,\pi] \ni \theta \mapsto \epsilon e^{i\theta}$. Solo me interesa la parte compleja (la parte real es irrelevante para mí). Cuando uso el método estándar para calcular estas integrales, obtengo: $$\int_0^\pi ie^{i\epsilon e^{i\theta}} d\theta$$ Lo cual no me lleva a ninguna parte.

Answer 1

Si estás interesado en el límite para $\epsilon\rightarrow 0^+$, puedes usar el truco de Jordan, que dice:

sea $\gamma_{\epsilon}=z_0+\epsilon e^{i\theta}$, $\theta\in[\alpha,\beta]$, con $f$ teniendo un polo simple en $z_0$, entonces $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\gamma_{\epsilon}}f(z)dz=(\beta-\alpha)\cdot i\cdot\operatorname{Res}(f,z_0)$$ En tu caso, $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}\int_{\gamma_{\epsilon}}\frac{e^{iz}}{z}dz=(\pi-0)\cdot i\cdot\operatorname{Res}\Big(\frac{e^{iz}}{z},0\Big)=\pi\cdot i\frac{e^{iz_0}}{1}=\pi\cdot i$$