Pregunta sobre coeficientes de funciones generadoras

Question

Encuentra el coeficiente de $x^{18}$ en $(1+x^3+x^6+x^9+\cdots)^6 $

Normalmente, para hacer esto, buscaría un patrón que sigue las siguientes expansiones básicas en esta presentación: http://academics.smcvt.edu/jellis-monaghan/combo2/Archive/Combo%20s03/class%20notes%20s03/seection6_2.ppt

Sin embargo, lo que me desconcierta son los exponentes que se duplican. No estoy seguro de cómo lidiar con ellos exactamente. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Intenta sustituir $x^3$ con, digamos $y$. ¿Entonces puedes hacerlo?

Answer 2

$$(1+x^3+x^6+x^9+\cdots)^6 =\left(\frac{1}{1-x^3}\right)^6=(1-x^3)^{-6}=$$ $$=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{6+k-1}{k}x^{3k}=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^{3k}\Rightarrow a_k=\binom{6+k-1}{k}$$

$$x^{18}=x^{3k}\Rightarrow 3k=18\Rightarrow k=6$$ and coefficient is $$a_6=\binom{6+6-1}{6}=\binom{11}{6}$$