Peano, inducción simple

Question

Tengo el axioma de los axiomas de Peano:

Si $A\subseteq \mathbb{N}$ y $1\in A$ y $m\in A \Rightarrow S(m)\in A$, entonces $A=\mathbb{N}$.

Mi libro me dice que garantiza que no hay más números naturales que los números producidos por los siguientes 3 axiomas (también de los axiomas de Peano):

$1\in \mathbb{N}$

Para cada $n\in\mathbb{N}: 1\neq S(n)$

Para cada $m,n\in \mathbb{N}:m\neq n\Rightarrow S(m) \neq S(n)$

¿Y no estoy seguro de por qué? ¿Hay alguien que pueda explicar esto?

S(n) es una función unaria $S: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$. ¿Significa esto que $S(n)=n+1$?

Answer 1

Sí, $S(n)$ está destinado a representar $n+1$. Más tarde, cuando se defina la adición, "$n+1$"resultará ser igual a $S(n)$.

En cuanto a la inducción: Sea $$A=\{1,S(1),S(S(1)), S(S(S(1))),\ldots\}$$ Esto es claramente un subconjunto de $\mathbb{N}$ como se define en los axiomas; satisface $1\in A$ y para cada $n\in A$ debe ser también que $S(n)\in A$. Por lo tanto, por el axioma de inducción, $A=\mathbb N$, entonces $$\mathbb N=\{1,S(1),S(S(1)), S(S(S(1)),\ldots\}$$

Estrictamente hablando, el argumento anterior no es del todo formal, porque las fórmulas que incluyen "$\ldots$" generalmente se toman como abreviaturas de construcciones más complejas que involucran a los números naturales. Sin embargo, como nuestro principal objetivo aquí es definir formalmente los números naturales en primer lugar, no está claro que el argumento anterior tenga algún contenido formal en absoluto. (Sin embargo, lo tiene: Dice que cada vez que tenemos un modelo de los axiomas de Peano (de segundo orden), el modelo tiene que ser isomorfo a los números naturales que usamos en el metanivel para dar sentido a los "$\ldots$").

Answer 2

Los tres axiomas te garantizan que el conjunto $A=\{1,S(1),S(S(1)),S(S(S(1))),...\}$ es infinito (principalmente debido a la inyectividad de $S$). Pero no garantizan la igualdad $A=\mathbb{N}$. Para establecerlo necesitas el axioma de inducción.

Por ejemplo, si tomas $S(n)=2n$. Satisface los tres axiomas, pero $A=\{1\}\cup\{2^n:\ n\in\mathbb{N}\}$, por lo que hay números naturales que no pueden obtenerse solo usando los tres axiomas.

El axioma de inducción te garantiza que cuando $A$ se define como se mencionó anteriormente, entonces $A=\mathbb{N}$.