Si $R$ es un anillo unitario conmutativo sin idempotentes no triviales, ¿el grupo de unidades de $R$ no es isomorfo con el grupo aditivo de $R$?

Question

Sea $R$ un anillo conmutativo con unidad tal que $R$ no tiene idempotentes no triviales, y sea $(R^\times,\ \cdot)$ el grupo de unidades de $R$. ¿Es cierto que $(R,+) \ncong (R^\times,\ \cdot)$ ?

Ver Sea $R$ un anillo conmutativo con unidad. ¿Es cierto que el grupo de unidades de $R$ no es isomorfo con el grupo aditivo de $R$?. Los contraejemplos (hasta donde puedo ver) no cubren esto. Por favor ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Antes de presentar mi contraejemplo, permíteme señalar que esta pregunta muestra que $R$ no puede tomarse como un campo. Como señalaste en la pregunta, la solución también se conoce en el caso en que se permiten idempotentes no triviales. Mi respuesta a tu pregunta es un poco más complicada.

Mi construcción depende de un campo $K$ y un grupo $G$. Denoto $$\mathcal{H}(K,G)=\left\{\varphi+f\left|\right.\varphi\in KG,\,\,f\in t\,K[t]\right\},$$ es decir, $\mathcal{H}(K,G)$ es el conjunto de todas las sumas formales $\varphi+f$ en las que $\varphi$ es un elemento del anillo de grupo $KG$ y $f$ es un polinomio con término constante cero. Defino $$(\varphi_1+f_1)(\varphi_2+f_2)=\varphi_1\varphi_2+\sigma(\varphi_1) f_2+\sigma(\varphi_2) f_1+ f_1 f_2,$$ donde $\sigma:KG\to K$ es la función que envía un elemento de un anillo de grupo a la suma de sus coeficientes.

Omitiré una demostración formal de que $\mathcal{H}(K,G)$ es en efecto un anillo. También es claro que los elementos invertibles e idempotentes en $\mathcal{H}(K,G)$ son precisamente aquellos que pertenecen a $G$.

Para construir el contraejemplo, tomo $K=\mathbb{F}_2$ y $G=\mathbb{Z}_2^\infty$. Obtenemos $\varphi^2=\sigma(\varphi)$ para todo $\varphi\in KG$, de modo que no hay idempotentes no triviales, y cada elemento invertible se eleva al cuadrado de $1$. Por lo tanto, el subgrupo multiplicativo de $\mathcal{H}(K,G)$ es isomorfo a la suma directa de varias copias de $\mathbb{Z}_2$. Lo mismo ocurre con el grupo aditivo de $\mathcal{H}(K,G)$ porque el campo subyacente tiene característica dos. Solo queda señalar que las cardinalidades de los grupos multiplicativos y aditivos de $\mathcal{H}(K,G)$ son iguales.