Obviamente la versión compacta y auto-adjunto operadores lineales en Espacios de Hilbert es muy útil, ya que se descompone a los operadores en las proyecciones ortogonales.
Sin embargo, la siguiente versión más general para conmutativa $C^*$ subalgebras de $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ no parece tan útil para mí.
Deje $\mathcal{A}\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$ $C^*$ subalgebra que contengan $I$ $\Sigma$ ser de su espectro. A continuación, para $u,v\in \mathcal{H}$, $f\mapsto \langle T_f u,v\rangle$ es un delimitada lineal funcional en $C(\Sigma)$ donde $T_f$ es el operador asignado a $f$ por Gelfand transformación, por lo tanto se define una medida $\mu_{u,v}$$\Sigma$.
Entonces no es un habitual de proyección de valores de medida $P$ $\Sigma$ tal que $T=\int \hat{T}dP$ todos los $T\in\mathcal{A}$ $T_{f}=\int fdP$ todos los $f\in B(\Sigma)$ donde $\hat{T}$ es el Gelfand transformación de $T$ $T_{f}$ está definido por $\langle T_{f}u,v\rangle=\int fd\mu_{u,v}$. Por otra parte, si $S\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$, los siguientes son equivalentes:
i.$S$ conmuta con todos los $T\in\mathcal{A}$.
ii. $S$ commmutes con $P(E)$ por cada Borel $E$
iii. $S$ viajes con $\int f dP$ por cada $f\in B(\Sigma)$.
Aunque también es algo en descomposición, pero involucran integrales y regular las medidas que existen, pero no son construidos en un paso-por-paso de moda como en la versión más simple y que realmente no sabe mucho.
Así que me pregunto cómo utilidad de este teorema es y sería genial si algunos de los ejemplos puede ser proporcionada.
Gracias!
