¿Por qué dicen los físicos que el espacio-tiempo no se dobla "dentro" o "fuera" de una cuarta dimensión?

Question

Entiendo que no hay necesidad de que se doble en un espacio de cuarta dimensión, pero ¿por qué parecen los físicos estar en contra de la idea? ¿Es simplemente porque no hay evidencia de una cuarta dimensión, o hay algún tipo de evidencia en contra de una cuarta dimensión?

¿No sería más simple asumir que hay una dimensión más grande en la que el espacio-tiempo está incrustado? Me parece que podría simplificar muchas cosas si asumimos que hay una cuarta dimensión tangente a las tres dimensiones del espacio, así que se siente como si los físicos deben tener alguna buena razón para estar tan en contra de la idea.

Además, por supuesto, está la simple intuición de que si algo está en una superficie curva (como una bola o una silla de montar), debe haber "algo" dentro de la "bola" o entre los lados de la "silla de montar".

¿Puede un físico explicar por qué no estar incrustado en un espacio 4D superior es más simple o describe con mayor precisión las observaciones?

Answer 1

Siempre puedes incrustar una variedad (espaciotemporal) en un espacio de suficientes dimensiones (si tienes una variedad dimensional $d$, puede ser incorporada en un espacio de dimensiones $2d$). Pero eso no especifica en qué espacio es, podría ser cualquier espacio de suficientes dimensiones. Entonces asumir que está incrustado no te dice nada en absoluto. Por lo tanto, es más simple no invocar ninguna incrustación en primer lugar.

Answer 2

Yo diría que la respuesta es simplemente el principio científico de parsimonia: si una entidad empíricamente inconsecuente puede ser eliminada de una teoría, es preferible eliminarla. Como has señalado, el espacio de incrustación no es necesario matemáticamente, y por lo tanto tampoco afecta las afirmaciones empíricas de la teoría. Por lo tanto, la parsimonia nos dice que lo eliminemos. Si quieres, podrías decir que esto se debe, de hecho, a que "no hay prueba".

Pero también diría que personalmente siento que la parsimonia, al igual que muchas otras pautas filosóficas en la ciencia, puede tomarse demasiado dogmáticamente. Mientras que tal vez deberíamos "predeterminar" la teoría más parsimoniosa, pensar en posibles extensiones de la misma podría al menos ofrecer nuevas formas de pensar y resolver problemas y, tal vez, incluso más adelante, teorías novedosas que realmente hacen afirmaciones que son de consecuencia empírica y que luego pueden ser probadas.

Por otro lado, sin embargo, no voy a afirmar que haya algún fruto positivo de esta entidad en particular. De hecho, muchas analogías basadas en ella pueden ser bastante engañosas en términos de pedagogía, porque no podemos visualizar realmente los espacios de incrustación tan bien como necesitaríamos para hacerlos útiles. Por ejemplo, esa imagen tan mencionada en la divulgación científica de cómo funciona la gravedad con una "hoja de goma".

Answer 3

Incluso si el espacio-tiempo está incrustado en algo más grande, no tenemos acceso a él ni a ninguna forma de hacer observaciones de él. Esto te dice que nuestras teorías solo deben formularse utilizando cantidades que puedan ser calculadas "intrínsecamente", sin hacer referencia a ninguna incrustación. Entonces, la curvatura de Riemann está incluida, pero la curvatura media o la segunda forma fundamental están excluidas. Ahora puedes trabajar con el espacio-tiempo incrustado en algún espacio ambiente aleatorio, siempre y cuando te asegures de verificar que los cálculos que estás haciendo sean independientes de la incrustación. O puedes trabajar intrínsecamente en el propio espacio-tiempo y no preocuparte por comprobar nada.

Otra forma de decir esto es que es más fácil averiguar qué componentes del tensor métrico/curvatura tienen qué significado físico cuando estás trabajando intrínsecamente.

Además, comenzar con una incrustación y descubrir fórmulas para la métrica, etc., puede ser molesto. Por otro lado, si conoces la métrica, puede ser molesto encontrar una incrustación que la induzca. Como han mencionado otras personas, hay teoremas de existencia abstractos que dicen que cualquier variedad Riemanniana puede ser incrustada isométricamente en algún espacio de dimensión superior, pero puede ser difícil encontrar la incrustación explícitamente. Como un ejemplo divertido de esto, un toro plano es muy fácil de visualizar intrínsecamente (simplemente dibuja un paralelogramo e identifica los lados opuestos por pares) y puede ser incrustado isométricamente en 4D sin demasiada dificultad. También puede ser incrustado isométricamente en 3D si permites que tu incrustación sea solo una vez diferenciable (por el teorema de incrustación de Nash-Kuiper) y un equipo de matemáticos produjo una imagen generada por computadora de cómo se vería eso:

http://hevea-project.fr/ENPageToreDossierDePresse.html

es decir, como un fractal increíblemente complicado.

Por supuesto, este ejemplo es irrelevante para el espacio-tiempo porque necesitas segundas derivadas para dar sentido a la curvatura, pero ilustra muy bien el hecho de que al asumir que tienes una incrustación estás añadiendo mucha complicación a la teoría que nunca necesitas ni utilizas realmente.

Answer 4

Tengo mucha simpatía con esta pregunta, porque creo que es cierto que los físicos han sido un poco enfáticos en la idea de que la incrustación es "incorrecta". La incrustación es una idea matemática bien definida que proporciona las mismas predicciones para los fenómenos observables que un tratamiento del mismo conjunto sin incrustación. Por lo tanto, no está descartada por la observación. Solo está o no está determinada por las evaluaciones humanas de cuál es la formulación menos engañosa o más elegante.

Lo que está en contra de la idea de la incrustación es, supongo, en primer lugar que puede requerir más de una dimensión adicional, y en segundo lugar que puede sugerir al no experto que el resto del espacio de dimensiones superiores está disponible para ser explorado o medido. Lo que está a favor de la idea de la incrustación es la ayuda que brinda a nuestra intuición sobre la curvatura, y el hecho de que a veces ofrece formas interesantes de tratar variedades y encontrar geodésicas. Por ejemplo, el paraboloide de Flamm ofrece una buena visión de las distancias adecuadas alrededor de un agujero negro. ¿Y quién ha pensado alguna vez en un agujero de gusano sin imaginar uno de esos tubos en su mente?

En general, entonces, creo que el mensaje de los expertos al público en general aquí no debería ser que pensar en el espacio-tiempo como incrustado en un espacio de dimensiones superiores es incorrecto, sino más bien que esta noción es un método matemático útil y tiene usos limitados. La imagen de la incrustación es en ciertos aspectos engañosa, porque parece sugerir que el resto del espacio de dimensiones superiores está "allí" en el mismo sentido en que el espacio-tiempo de 4 dimensiones y su contenido material están "allí", pero esto no es así, porque el espacio de dimensiones superiores simplemente fue conjurado a la existencia por un matemático agitando un bolígrafo.

Answer 5

Para entender esto primero debes tener una imagen clara de la diferencia entre curvatura intrínseca y curvatura extrínseca. Imagina una hormiga que vive en una esfera. Para la hormiga, la esfera parece plana porque es tan pequeña. Pero si realiza ciertos experimentos podría deducir que la esfera en realidad está curvada. Imaginemos que la hormiga lleva un pequeño giroscopio que siempre apunta en la misma dirección. Si la hormiga camina en lo que considera una línea recta, el giroscopio se inclinará lentamente. Esto no debería ocurrir en una línea recta real, por lo que concluimos que la superficie está realmente curva.

Como la hormiga vive en un universo 3D pero está confinada a una superficie 2D, llamamos a esta curvatura extrínseca. El espacio real no está curvado, pero debido a la restricción de la esfera parece que está curvado.

Por otro lado, también existe la curvatura intrínseca. Imagina que en lugar de una hormiga tenemos seres bidimensionales que viven en un universo con la métrica de una 2-esfera. Sus células son 2D. Su ADN es 2D. Su visión se basa en rayos de luz que se propagan en 2D. Estos seres también experimentan curvatura, pero la curvatura que experimentan no se debe a una dimensión adicional, sino que es puramente porque su universo está intrínsecamente curvo. Por ejemplo, si estos seres caminan alrededor de un triángulo lo suficientemente grande, los ángulos serán mayores que $180^\circ$. Si realizan transporte paralelo a lo largo del triángulo (como en la imagen de abajo), no volverán a obtener el mismo vector. Los físicos creen que nuestro universo está intrínsecamente curvo.

Entonces, ¿cuál es más natural? La curvatura extrínseca puede parecerte más natural porque estás familiarizado con ella. Después de todo, actualmente estás confinado a vivir en la superficie de una 2-esfera. Pero desde una perspectiva física, la curvatura extrínseca es un poco forzada. Tanto la curvatura intrínseca como la curvatura extrínseca podrían explicar la curvatura del espacio-tiempo, pero dadas dos teorías equivalentes, se debería elegir la más simple. Las mediciones experimentales han descartado una 'gran' quinta dimensión porque eso sería notorio en la fuerza de las fuerzas fundamentales$^\dagger$. Todavía existe la posibilidad de dimensiones pequeñas y enrolladas como las propuestas en la teoría de cuerdas, pero eso no es de lo que trata tu pregunta. Así que para incluir la curvatura extrínseca en tu modelo del universo primero tendrías que probar su existencia y luego también explicar por qué los efectos de esta dimensión adicional no se ven en los experimentos. La curvatura intrínseca es la opción más simple y natural aquí, aunque sea contraintuitiva.

$\dagger$ No tengo una fuente para esto, así que si alguien tiene una fuente sería genial.

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